Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число.
Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором – 1?
Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.).
Внутри угла с вершиной M отмечена точка A. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке B, затем от другой стороны в точке C и вернулся в A ("угол падения" равен "углу отражения", см. рис.). Докажите, что центр O описанной окружности треугольника BCM лежит на прямой AM. (Шар считайте точкой.)
Камни лежат в трёх кучках: в одной – 51 камень, в другой – 49, а в третьей – 5. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?
В треугольнике ABC проведена биссектриса BD (точка D лежит на отрезке AC ). Прямая BD пересекает окружность Ω , описанную около треугольника ABC , в точках B и E . Окружность ω , построенная на отрезке DE как на диаметре, пересекает окружность Ω в точках E и F . Докажите, что прямая, симметричная прямой BF относительно прямой BD , содержит медиану треугольника ABC .
Числа a, b и c таковы, что (a + b)(b + c)(c + a) = abc, (a³ + b³)(b³ + c³)(c³ + a3) = a³b³c³. Докажите, что abc = 0.
Докажите, что
На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки M и N соответственно. Диагональ BD пересекает стороны AM и AN треугольника AMN соответственно в точках E и F , разбивая его на две части. Докажите, что эти две части имеют одинаковые площади тогда и только тогда, когда точка K , определяемая условиями EK || AD , FK || AB , лежит на отрезке MN .
Дано натуральное n > 1. Число a > n² таково, что среди чисел a + 1, a + 2, ..., a + n есть кратные каждого из чисел n² + 1, n² + 2, ..., n² + n.
Докажите, что a > n4 – n³.
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник шириной 200 и высотой 100 клеток. Его закрашивают по клеткам, начав с левой верхней и идя по спирали (дойдя до края или уже закрашенной части, поворачивают направо, см. рис.). Какая клетка будет закрашена последней? (Укажите номер её строки и столбца. Например, нижняя правая клетка стоит в 100-й строке и 200-м столбце.)
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача 105096 |
|
|
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник шириной 200 и высотой 100 клеток. Его закрашивают по клеткам, начав с левой верхней и идя по спирали (дойдя до края или уже закрашенной части, поворачивают направо, см. рис.). Какая клетка будет закрашена последней? (Укажите номер её строки и столбца. Например, нижняя правая клетка стоит в 100-й строке и 200-м столбце.)
|
|
Решение |
Задача 105109 |
|
|
Можно ли расставить охрану вокруг точечного объекта так, чтобы ни
к объекту, ни к часовым нельзя было незаметно подкрасться? (Каждый часовой
стоит неподвижно и видит на 100 м строго вперёд.)
|
|
Решение |
Задача 105103 |
|
|
В некоторой стране суммарная зарплата 10% самых высокооплачиваемых работников составляет 90% зарплаты всех работников. Может ли так быть, что в каждом из регионов, на которые делится эта страна, зарплата любых 10% работников составляет не более 11% всей зарплаты, выплачиваемой в этом регионе?
|
|
|
Решение |
Задача 105104 |
|
Внутри угла с вершиной M отмечена точка A. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке B, затем от другой стороны в точке C и вернулся в A ("угол падения" равен "углу отражения", см. рис.). Докажите, что центр O описанной окружности треугольника BCM лежит на прямой AM. (Шар считайте точкой.)
|
|
|
Решение |
Задача 105105 |
|
|
Камни лежат в трёх кучках: в одной – 51 камень, в другой – 49, а в третьей – 5. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
