Для положительных чисел x, y, z выполнено равенство  ^x²/_y + ^y²/_z + ^z²/_x = ^x²/_z + ^y²/_x + ^z²/_y.  Докажите, что хотя бы два из чисел x, y, z равны между собой.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

Для положительных чисел x, y, z выполнено равенство  ^x²/_y + ^y²/_z + ^z²/_x = ^x²/_z + ^y²/_x + ^z²/_y.  Докажите, что хотя бы два из чисел x, y, z равны между собой.

Прислать комментарий

Решение

Дан многочлен P(x) степени 2003 с действительными коэффициентами, причем старший коэффициент равен 1. Имеется бесконечная последовательность целых чисел  a₁, a₂, ...,  такая, что  P(a₁) = 0,  P(a₂) = a₁,  P(a₃) = a₂  и т. д. Докажите, что не все числа в последовательности  a₁, a₂, ...  различны.

Прислать комментарий

Решение

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Точки P и Q симметричны точке C относительно прямых AB и AD соответственно.
Докажите, что прямая PQ проходит через ортоцентр H треугольника ABD.

Прислать комментарий

Решение

На берегу круглого острова Гдетотам расположено 20 деревень, в каждой живёт по 20 борцов. Был проведён турнир, в котором каждый борец встретился со всеми борцами из всех других деревень. Деревня А считается сильнее деревни Б, если хотя бы k поединков между борцами из этих деревень заканчивается победой борца из деревни А. Выяснилось, что каждая деревня сильнее следующей за ней по часовой стрелке. Какое наибольшее значение может иметь k? (У всех борцов разная сила, и в поединке всегда побеждает сильнейший.)

Прислать комментарий

Решение

Дано равенство  (a^m₁ – 1)...(a^m_n – 1) = (a^k₁ + 1)...(a^k_l + 1),  где a, n, l и все показатели степени – натуральные числа, причём  a > 1.
Найдите все возможные значения числа a.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]