Фильтр
Выбрано 22 задачи Убрать все задачи
Внутри квадрата ABCD взята точка M. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABM, BCM, CDM и DAM образуют квадрат.
Действительные числа x и y таковы, что для любых различных простых нечётных p и q число xp + yq рационально.
Докажите, что x и y – рациональные числа.
С ненулевым числом разрешается проделывать следующие
операции: x
, x
. Верно ли, что из каждого ненулевого
рационального числа можно получить каждое рациональное
число с помощью конечного числа таких операций?
Ненулевые числа a и b удовлетворяют равенству a²b²(a²b² + 4) = 2(a6 + b6). Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.
Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов a, b из M число
рационально. Докажите, что для любого a из M число
рационально.
В числе a = 0,12457... n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе Докажите, что α –
иррациональное число.
Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа.
Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не
превосходит удвоенного числа в его середине.
Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково,
что для любых трех различных элементов a,b,c из M
число a2+bc рационально.
Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a
из M число a рационально.
Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.
Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.
В бесконечной последовательности a1, a2, a3, ... число a1 равно 1,
а каждое следующее число an строится из предыдущего an–1 по правилу: если у числа n наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то an = an–1 + 1, если же остаток равен 3, то an = an–1 – 1. Докажите, что в этой последовательности
а) число 1 встречается бесконечно много раз;
б) каждое натуральное число встречается бесконечно много раз.
(Вот первые члены этой последовательности: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ...)
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?
Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.
Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABCA1 .
Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1 . Найдите его объем.
Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π .
Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.
Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 10.
Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром I . Докажите, что проекции точек B и D на прямые IA и IC лежат на одной окружности.
У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача 107983 |
|
|
Для двух данных различных точек плоскости A и B найдите геометрическое место таких точек C, что треугольник ABC остроугольный, а его угол A - средний по величине.
Комментарий. Под средним по величине углом мы понимаем угол, который не больше одного из углов, и не меньше другого. Так, например, мы считаем, что у равностороннего треугольника любой угол - средний по величине.
|
|
Решение |
Задача 107995 |
|
|
Известно, что
tg + tg
= p,
ctg
+ ctg
= q. Найти
tg ( +
).
|
|
|
Решение |
Задача 107979 |
|
|
На прямой стоят две фишки, слева – красная, справа – синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд в любом месте прямой и удаление любых двух соседних одноцветных фишек. Можно ли за конечное число операций оставить на прямой ровно две фишки: красную справа, а синюю – слева?
|
|
|
Решение |
Задача 107980 |
|
|
Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с центральной секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу часов минутная стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше: хорошего или плохого? (Стрелки часов движутся с постоянной скоростью.)
|
|
|
Решение |
Задача 107986 |
|
|
У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
