Фильтр
Выбрано 5 задач Убрать все задачи
Два различных числа x и y (не обязательно целых) таковы, что x² – 2000x = y² – 2000y. Найдите сумму чисел x и y.
РешениеМногочлен третьей степени имеет три различных корня строго между 0 и 1. Учитель сообщил ученикам два из этих корней. Ещё он сообщил все четыре коэффициента многочлена, но не указал, в каком порядке эти коэффициенты идут. Обязательно ли можно восстановить третий корень?
РешениеВ колоде часть карт лежит рубашкой вниз. Время от времени Петя вынимает из колоды пачку из одной или нескольких подряд идущих карт, в которой верхняя и нижняя карты лежат рубашкой вниз, переворачивает всю пачку как одно целое и вставляет её в то же место колоды (если "пачка" состоит лишь из одной карты, то требуется только, чтобы она лежала рубашкой вниз). Докажите, что в конце концов все карты лягут рубашкой вверх, как бы ни действовал Петя.
РешениеВ последовательности троек целых чисел (2, 3, 5), (6, 15, 10), ... каждая тройка получается из предыдущей таким образом: первое число умножается на второе, второе – на третье, а третье – на первое, и полученные произведения дают новую тройку. Докажите, что ни одно из чисел, получаемых таким образом, не будет степенью целого числа: квадратом, кубом и т.д.
РешениеВ треугольнике ABC медиана BM равна стороне AC. На
продолжениях сторон BA и AC за точки A и C выбраны
соответственно точки D и E, причём
AD = AB и CE = CM. Докажите, что прямые DM и BE перпендикулярны.
Решение
Задачи
Задача 105072 |
|
|
Два различных числа x и y (не обязательно целых) таковы, что x² – 2000x = y² – 2000y. Найдите сумму чисел x и y.
|
|
|
Решение |
Задача 105074 |
|
|
Длины оснований трапеции равны m см и n см (m и n – натуральные числа, m ≠ n). Докажите, что трапецию можно разрезать на равные треугольники.
|
|
Решение |
Задача 105073 |
|
|
В выборах в 100-местный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за которые проголосовало строго больше 5% избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места распределяются пропорционально числу набранных ими голосов. После выборов оказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно за одну из партий (недействительных бюллетеней, голосов "против всех" и т. п. не было) и каждая партия получила целое число мест. При этом Партия любителей математики набрала 25% голосов. Какое наибольшее число мест в парламенте она могла получить?
|
|
|
Решение |
Задача 108131 |
|
|
В треугольнике ABC медиана BM равна стороне AC. На
продолжениях сторон BA и AC за точки A и C выбраны
соответственно точки D и E, причём
AD = AB и CE = CM. Докажите, что прямые DM и BE перпендикулярны.
|
|
|
Решение |
Задача 105076 |
|
|
В колоде часть карт лежит рубашкой вниз. Время от времени Петя вынимает из колоды пачку из одной или нескольких подряд идущих карт, в которой верхняя и нижняя карты лежат рубашкой вниз, переворачивает всю пачку как одно целое и вставляет её в то же место колоды (если "пачка" состоит лишь из одной карты, то требуется только, чтобы она лежала рубашкой вниз). Докажите, что в конце концов все карты лягут рубашкой вверх, как бы ни действовал Петя.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
