На берегу круглого острова Гдетотам расположено 20 деревень, в каждой живёт по 20 борцов. Был проведён турнир, в котором каждый борец встретился со всеми борцами из всех других деревень. Деревня А считается сильнее деревни Б, если хотя бы k поединков между борцами из этих деревень заканчивается победой борца из деревни А. Выяснилось, что каждая деревня сильнее следующей за ней по часовой стрелке. Какое наибольшее значение может иметь k? (У всех борцов разная сила, и в поединке всегда побеждает сильнейший.)

   Решение

Дан параллелограм ABCD. Прямая, параллельная AB, пересекает биссектрисы углов A и C в точках P и Q соответственно.
Докажите, что углы ADP и ABQ равны.

   Решение

Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.

   Решение

В треугольнике ABC медианы AA' , BB' и CC' продлили до пересечения с описанной окружностью в точках A0 , B0 и C0 соответственно. Известно, что точка M пересечения медиан треугольника ABC делит отрезок AA0 пополам. Докажите, что треугольник A0B0C0 – равнобедренный.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

Сумма положительных чисел a, b, c равна ^π/₂. Докажите, что  cos a + cos b + cos c > sin a + sin b + sin c.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC медианы AA' , BB' и CC' продлили до пересечения с описанной окружностью в точках A0 , B0 и C0 соответственно. Известно, что точка M пересечения медиан треугольника ABC делит отрезок AA0 пополам. Докажите, что треугольник A0B0C0 – равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

Три натуральных числа таковы, что произведение каждых двух из них делится на сумму этих двух чисел.
Докажите, что эти три числа имеют общий делитель, больший единицы.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости отмечено N 3 различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более n различных расстояний. Докажите, что N (n+1)² .

Прислать комментарий

Решение

Уравнение  xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n = 0  с целыми ненулевыми коэффициентами имеет n различных целых корней.
Докажите, что если каждые два корня взаимно просты, то и числа a_n–1 и a_n взаимно просты.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]