Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 107864

Темы:	[	Производная в точке	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Wolfram S

Про непрерывную функцию f известно, что:

f определена на всей числовой прямой;
f в каждой точке имеет производную (и, таким образом, график f в каждой точке имеет единственную касательную);
график функции f не содержит точек, у которых одна из координат рациональна, а другая — иррациональна.

Следует ли отсюда, что график f — прямая?

Прислать комментарий Решение

Задача 107866

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Авторы: Сендеров В.А., Эвнин А.Ю.

Решите в натуральных числах уравнение 3^x + 4^y = 5^z.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107863

Темы:	[	Разложение на множители	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Теорема Виета	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10

Автор: Произволов В.В.

Числа x, y, z удовлетворяют равенству x + y + z – 2(xy + yz + xz) + 4xyz = ½. Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108683

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Гальперин Г.А.

В неравнобедренном треугольнике ABC проведены медианы AK и BL . Углы BAK и CBL равны 30^o . Найдите углы треугольника ABC .

Прислать комментарий Решение

Задача 107867

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Поворот и винтовое движение	]
	[	Двумерные поверхности	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Анисов С.С.

Можно ли в пространстве составить замкнутую цепочку из 61 одинаковых согласованно вращающихся шестерёнок так, чтобы углы между сцепленными шестерёнками были не меньше 150°? При этом:
для простоты шестёренки считаются кругами;
шестерёнки сцеплены, если соответствующие окружности в точке соприкосновения имеют общую касательную;
угол между сцепленными шестерёнками – это угол между радиусами их окружностей, проведёнными в точку касания;
первая шестерёнка должна быть сцеплена со второй, вторая – с третьей, и т. д., 61-я – с первой, а другие пары шестерёнок не должны иметь общих точек.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]