Версия для печати
Убрать все задачи
Хорды $AB$ и $CD$ окружности $\omega$ пересекаются в точке $E$, причем $AD = AE = EB$. На отрезке $CE$ отметили точку $F$, так что $ED = CF$. Биссектриса угла $AFC$ пересекает дугу $DAC$ в точке $P$. Докажите, что точки $A$, $E$, $F$ и $P$ лежат на одной окружности.
Решение
100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть
равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что
равновесие не нарушится.
Решение
 |
а) На рис. 1 плоскость покрыта квадратами пяти цветов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах сетки из одинаковых квадратов. При каком числе n цветов возможно аналогичное заполнение плоскости?
б) На рис. 2 плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что центры шестиугольников одного и того же цвета образуют вершины решётки из одинаковых правильных треугольников. При каком числе n цветов возможно аналогичное построение?
Примечание. Имеются в виду только такие заполнения плоскости фигурками (квадратами или шестиугольниками), при котором сетка, соответствующая какому-то одному цвету, имеет такие же размеры и направления сторон квадратов (или треугольников), как и сетка, соответствующая любому другому цвету (то есть все сетки должны получаться друг из друга параллельным сдвигом). |
 |
Решение
В пространстве расположены 3 плоскости и шар. Сколькими различными
способами можно поместить в пространстве второй шар так, чтобы он касался трёх
данных плоскостей и первого шара? (
В этой задаче речь фактически идёт о
касании сфер, т.е. не предполагается, что шары могут касаться только внешним
образом — прим. ред.)
Решение
Найти наименьшее значение выражения x + 1/4x при положительных значениях x.
Решение
Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Белорусские республиканские математические олимпиады
>>
11-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
