Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]

Задача 109483 (#1)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Задачи с ограничениями	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,11

Автор: Сергеев И.Н.

Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в каком-либо порядке числами 1, 2, ..., 20. Если секторы занумерованы, например, в следующем порядке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наименьшая из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов равна 12 – 9 = 3.
Может ли указанная величина при нумерации в другом порядке быть больше 3?
Каково наибольшее возможное значение этой величины?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109484 (#2)

Темы:	[	Смешанные уравнения и системы уравнений	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Методы решения задач с параметром	]
	[	Показательные уравнения	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Алексеев В.Б.

Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений 4^x – 4^–x = 2 cos ax, 4^x + 4^–x = 2 cos ax + 4 равно 2007.
Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109485 (#3)

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бегунц А.В.

Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1?
Найдите все возможные значения этого произведения.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109486 (#4)

Темы:	[	Пирамида (прочее)	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Равные треугольники. Признаки равенства (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Сергеев И.Н.

В основании A₁A₂...A_n пирамиды SA₁A₂...A_n лежит точка O, причём SA₁ = SA₂ = ... = SA_n и ∠SA₁O = ∠SA₂O = ... = ∠SA_nO.
При каком наименьшем значении n отсюда следует, что SO – высота пирамиды?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109487 (#5)

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Раскраски	]
	[	Таблицы и турниры (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Алексеев В.Б.

В таблице размера n×n клеток: две противоположные угловые клетки – чёрные, а остальные – белые. Какое наименьшее количество белых клеток достаточно перекрасить в чёрный цвет, чтобы после этого с помощью преобразований, состоящих в перекрашивании всех клеток какого-либо столбца или какой-либо строки в противоположный цвет, можно было сделать чёрными все клетки таблицы?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]