Версия для печати
Убрать все задачи

---

Известно, что a + = b + . Верно ли, что a = b?

   Решение

---

В футбольном чемпионате участвовали 16 команд. Каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному разу, за победу давалось 3 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0. Назовём команду успешной, если она набрала хотя бы половину от наибольшего возможного количества очков. Какое наибольшее количество успешных команд могло быть в турнире?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109496  (#3)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Деление с остатком ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Найдите все возрастающие конечные арифметические прогрессии, которые состоят из простых чисел и у которых количество членов больше чем разность прогрессии.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109502  (#3)

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Средние величины ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

В футбольном чемпионате участвовали 16 команд. Каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному разу, за победу давалось 3 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0. Назовём команду успешной, если она набрала хотя бы половину от наибольшего возможного количества очков. Какое наибольшее количество успешных команд могло быть в турнире?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109504  (#4)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Полуинварианты ] [ Обратный ход ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Капитан Врунгель в своей каюте разложил перетасованную колоду из 52 карт по кругу, оставив одно место свободным. Матрос Фукс с палубы, не отходя от штурвала и не зная начальной раскладки, называет карту. Если эта карта лежит рядом со свободным местом, Врунгель её туда передвигает, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происходит. Потом Фукс называет ещё одну карту, и так сколько угодно раз, пока сам не скажет "стоп". Может ли Фукс добиться того, чтобы после "стопа" каждая карта наверняка оказалась не там, где была вначале?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109486  (#4)

Темы:   [ Пирамида (прочее) ] [ Теорема синусов ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

В основании A₁A₂...A_n пирамиды SA₁A₂...A_n лежит точка O, причём  SA₁ = SA₂ = ... = SA_n  и  ∠SA₁O =  ∠SA₂O = ... = ∠SA_nO.
При каком наименьшем значении n отсюда следует, что SO – высота пирамиды?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109497  (#4)

Темы:   [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Круг, сектор, сегмент и проч. ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Выпуклая фигура F обладает следующим свойством: любой правильный треугольник со стороной 1 можно параллельно перенести так, что все его вершины попадут на границу F. Обязательно ли F – круг?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями