Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]
В треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность, касающаяся
сторон AC, BC и AB в точках M, K и N соответственно.
Через точку K провели прямую, перпендикулярную отрезку MN. Она пересекла катет AC в точке X. Докажите, что CK = AX.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Капитан Врунгель в своей каюте разложил перетасованную колоду из 52 карт
по кругу, оставив одно место свободным. Матрос Фукс с палубы, не отходя от штурвала и не зная начальной раскладки, называет карту. Если эта карта лежит рядом со свободным местом, Врунгель её туда передвигает, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происходит. Потом Фукс называет ещё одну карту, и так сколько угодно раз, пока сам не скажет "стоп". Может ли Фукс добиться того, чтобы после "стопа" каждая карта наверняка оказалась не там, где была вначале?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
В таблице размера n×n клеток: две противоположные угловые клетки – чёрные, а остальные – белые. Какое наименьшее количество белых клеток достаточно перекрасить в чёрный цвет, чтобы после этого с помощью
преобразований, состоящих в перекрашивании всех клеток какого-либо столбца или какой-либо строки в противоположный цвет, можно было сделать чёрными все клетки таблицы?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
В однокруговом футбольном турнире играли n > 4 команд. За победу давалось 3 очка, за ничью 1, за проигрыш 0. Оказалось, что все команды набрали поровну очков.
а) Докажите, что найдутся четыре команды, имеющие поровну побед, поровну ничьих и поровну поражений.
б) При каком наименьшем n могут не найтись пять таких команд?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Треугольник ABC вписан в
окружность с центром в O . X "– произвольная точка внутри
треугольника ABC , такая, что 
XAB= XBC=ϕ , а P
– такая точка, что PX
OX , XOP=ϕ , причем углы
XOP и XAB одинаково
ориентированы. Докажите, что
все такие точки P лежат на одной прямой.
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]
Фильтр
