Версия для печати
Убрать все задачи
Два мудреца играют в следующую игру. Выписаны числа 0, 1, 2,..., 1024. Первый
мудрец зачёркивает 512 чисел (по своему выбору), второй зачёркивает 256 из
оставшихся, затем снова первый зачёркивает 128 чисел и т.д. На десятом шаге
второй мудрец зачёркивает одно число; остаются два числа. После этого
второй мудрец платит первому разницу между этими числами. Как выгоднее играть
первому мудрецу? Как второму? Сколько уплатит второй мудрец первому, если оба
будут играть наилучшим образом? (Ср. с задачей
78710 и с задачей
78716.)
Решение
В колбе находится колония из
n бактерий. В какой-то момент внутрь колбы
попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же
после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту
новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся
бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда
не останется ни одной бактерии?
Решение
Предположим, что цепные дроби 
сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к
корням многочлена x² – px + q = 0. С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу
61328):
xn+1 = xn – 
= 
. Докажите, что если x0 совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x1, x2, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.
Решение
Дан куб. Три плоскости, параллельные граням, разделили его на 8 параллелепипедов. Их покрасили в шахматном порядке. Объёмы чёрных параллелепипедов оказались равны 1, 6, 8, 12.
Найдите объёмы белых параллелепипедов.
Решение
Докажите, что все корни уравнения zn = 1
могут быть записаны в виде 1, α, α2, ..., αn–1.
Решение
Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами, причём для каждого натурального x выполняется неравенство P(x) > x. Определим последовательность {bn} следующим образом: b1 = 1, bk+1 = P(bk) для k ≥ 1. Известно, что для любого натурального d найдется член последовательности {bn}, делящийся на d. Докажите, что P(x) = x + 1.
Решение
Квадратный трёхчлен f(x) разрешается заменить на один из
трёхчленов 
или 
Можно ли с помощью таких операций из квадратного трёхчлена x² + 4x + 3 получить трёхчлен x² + 10x + 9?
Решение
Фильтр
