Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 109647 (#97.5.10.3)

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Композиции поворотов	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Терешин Д.А.

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)

Прислать комментарий Решение

Задача 109648 (#97.5.10.4)

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Перестройки	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Произвольные многоугольники	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 5-
Классы: 10

Автор: Шаповалов А.В.

Многоугольник можно разбить на 100 прямоугольников, но нельзя – на 99. Докажите, что его нельзя разбить на 100 треугольников.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109649 (#97.5.10.5)

Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Агаханов Н.Х.

Существуют ли два квадратных трёхчлена ax² + bx + c и (a + 1)x² + (b + 1)x + (c + 1) с целыми коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня?

Прислать комментарий

Решение

Задача 108174 (#97.5.10.6)

Темы:	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Сонкин М.

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AC, AB и BC в точках K, M и N соответственно. Медиана BB₁ треугольника пересекает MN в точке D. Докажите, что точка O лежит на прямой DK.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109651 (#97.5.10.7)

Тема:

[

НОД и НОК. Взаимная простота

]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Токарев С.И.

Найдите все такие тройки натуральных чисел m, n и l, что m + n = (НОД(m, n))², m + l = (НОД(m, l))², n + l = (НОД(n, l))².

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]