ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Найдите все такие тройки натуральных чисел m, n и l, что  m + n = (НОД(m, n))²,  m + l = (НОД(m, l))²,  n + l = (НОД(n, l))².

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 109647  (#97.5.10.3)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Композиции поворотов ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 109648  (#97.5.10.4)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Перестройки ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Произвольные многоугольники ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 5-
Классы: 10

Многоугольник можно разбить на 100 прямоугольников, но нельзя – на 99. Докажите, что его нельзя разбить на 100 треугольников.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109649  (#97.5.10.5)

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Четность и нечетность ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Существуют ли два квадратных трёхчлена  ax² + bx + c  и  (a + 1)x² + (b + 1)x + (c + 1)  с целыми коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня?

Прислать комментарий     Решение

Задача 108174  (#97.5.10.6)

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Сонкин М.

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AC, AB и BC в точках K, M и N соответственно. Медиана BB1 треугольника пересекает MN в точке D. Докажите, что точка O лежит на прямой DK.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109651  (#97.5.10.7)

Тема:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Найдите все такие тройки натуральных чисел m, n и l, что  m + n = (НОД(m, n))²,  m + l = (НОД(m, l))²,  n + l = (НОД(n, l))².

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .