Дан тетраэдр ABCD. Вписанная в него сфера σ касается грани ABC в точке T. Сфера σ' касается грани ABC в точке T' и продолжений граней ABD, BCD, CAD. Докажите, что прямые AT и AT' симметричны относительно биссектрисы угла BAC.

   Решение

Внутри прямого угла KLM взята точка P. Окружность S₁ с центром O₁ касается сторон LK и LP угла KLP в точках A и D соответственно, а окружность S₂ с центром O₂ такого же радиуса касается сторон угла MLP, причём стороны LP – в точке B. Оказалось, что точка O₁ лежит на отрезке AB. Пусть C – точка пересечения прямых O₂D и KL. Докажите, что BC – биссектриса угла ABD.

   Решение

Существуют ли такие 14 натуральных чисел, что при увеличении каждого из них на 1 произведение всех чисел увеличится ровно в 2008 раз?

   Решение

Восемь клеток одной диагонали шахматной доски назовём забором. Ладья ходит по доске, не наступая на одну и ту же клетку дважды и не наступая на клетки забора (промежуточные клетки не считаются посещёнными). Какое наибольшее число прыжков через забор может совершить ладья?

   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  на стороне AB выбрана точка D, и вокруг треугольников ADC и BDC описаны окружности S₁ и S₂ соответственно. Касательная, проведённая к S₁ в точке D, пересекает второй раз окружность S₂ в точке M. Докажите, что  BM || AC.

   Решение

В кабинете президента стоят 2004 телефона, любые два из которых соединены проводом одного из четырёх цветов. Известно, что провода всех четырёх цветов присутствуют. Всегда ли можно выбрать несколько телефонов так, чтобы среди соединяющих их проводов встречались провода ровно трех цветов?

   Решение

В микросхеме 2000 контактов, первоначально любые два контакта соединены отдельным проводом. Хулиганы Вася и Петя по очереди перерезают провода, причем Вася (он начинает) за ход режет один провод, а Петя – либо два, либо три провода. Хулиган, отрезающий последний провод от какого-либо контакта, проигрывает. Кто из них выигрывает при правильной игре?

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

Докажите, что три выпуклых многоугольника на плоскости нельзя пересечь одной прямой тогда и только тогда, когда каждый многоугольник можно отделить от двух других прямой (т.е. существует прямая такая, что этот многоугольник и два остальных лежат по ее разные стороны).

Прислать комментарий

Решение

Через вершину A тетраэдра ABCD проведена плоскость, касательная к описанной около него сфере. Докажите, что линии пересечения этой плоскости с плоскостями граней ABC, ACD и ABD образуют шесть равных углов тогда и только тогда, когда  AB·CD = AC·BD = AD·BC.

Прислать комментарий

Решение

В микросхеме 2000 контактов, первоначально любые два контакта соединены отдельным проводом. Хулиганы Вася и Петя по очереди перерезают провода, причем Вася (он начинает) за ход режет один провод, а Петя – либо два, либо три провода. Хулиган, отрезающий последний провод от какого-либо контакта, проигрывает. Кто из них выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]