Версия для печати
Убрать все задачи

---

В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны.
Докажите, что все восемь отрезков равны.

   Решение

---

На доску последовательно выписываются числа  a₁ = 1,  a₂, a₃, ... по следующим правилам: a_n+1 = a_n – 2,  если число  a_n – 2  – натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае  a_n+1 = a_n + 3.  Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109723  (#00.5.9.1)

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Квадратные уравнения и системы уравнений ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Различные числа a, b и c таковы, что уравнения  x² + ax + 1 = 0  и  x² + bx + c = 0  имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения  x² + x + a = 0  и  x² + cx + b = 0.  Найдите сумму  a + b + c.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109724  (#00.5.9.2)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Математическая логика (прочее) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Таня задумала натуральное число  X ≤ 100,  а Саша пытается его угадать. Он выбирает пару натуральных чисел M и N, меньших 100, и задаёт вопрос: "Чему равен наибольший общий делитель  X + M  и N?" Докажите, что Саша может угадать Танино число, задав семь таких вопросов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108145  (#00.5.9.3)

Темы:   [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Пусть O – центр описанной окружности ω остроугольного треугольника ABC. Окружность ω₁ с центром K проходит через точки A, O и C и пересекает стороны AB и BC в точках M и N. Известно, что точки L и K симметричны относительно прямой MN. Докажите, что  BL ⊥ AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109726  (#00.5.9.4)

Темы:   [ Степень вершины ] [ Обход графов ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами. При этом из каждого города выходит хотя бы три дороги.
Докажите, что существует циклический маршрут, длина которого не делится на 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109727  (#00.5.9.5)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На доску последовательно выписываются числа  a₁ = 1,  a₂, a₃, ... по следующим правилам: a_n+1 = a_n – 2,  если число  a_n – 2  – натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае  a_n+1 = a_n + 3.  Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями