Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 109813 (#04.5.9.6)

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Раскраски	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

В кабинете президента стоят 2004 телефона, любые два из которых соединены проводом одного из четырёх цветов. Известно, что провода всех четырёх цветов присутствуют. Всегда ли можно выбрать несколько телефонов так, чтобы среди соединяющих их проводов встречались провода ровно трех цветов?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109814 (#04.5.9.7)

Темы:	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Смирнов А.

Натуральные числа от 1 до 100 расставлены по кругу в таком порядке, что каждое число либо больше обоих соседей, либо меньше обоих соседей. Пара соседних чисел называется хорошей, если при выкидывании этой пары вышеописанное свойство сохраняется. Какое минимальное количество хороших пар может быть?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109815 (#04.5.9.8)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, T – центр описанной окружности треугольника AOC, M – середина AC. На сторонах AB и BC выбраны точки D и E соответственно так, что ∠BDM = ∠BEM = ∠B. Докажите, что BT ⊥ DE.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109808 (#04.5.10.1)

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Раскраски	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Берлов С.Л.

Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.

Прислать комментарий Решение

Задача 109802 (#04.5.10.2)

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
Темы:	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков – белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какую-нибудь коробочку, в которой лежит белый шарик?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]