Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109803  (#04.5.10.3)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные многоугольники ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в ABCD окружность касается его сторон AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Биссектрисы внешних углов A и B четырёхугольника пересекаются в точке K', внешних углов B и C – в точке L', внешних углов C и D – в точке M', внешних углов D и A – в точке N'. Докажите, что прямые KK', LL', MM' и NN' проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109811  (#04.5.10.4)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Даны натуральное число  n > 3  и положительные числа x₁, x₂, ..., x_n, произведение которых равно 1.
Докажите неравенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109804  (#04.5.10.5)

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Последовательность неотрицательных рациональных чисел a₁, a₂, a₃, ... удовлетворяет соотношению  a_m + a_n = a_mn  при любых натуральных m, n.
Докажите, что не все её члены различны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109805  (#04.5.10.6)

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Ориентированные графы ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

В стране 1001 город, каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Из каждого города выходит ровно 500 дорог, в каждый город входит ровно 500 дорог. От страны отделилась независимая республика, в которую вошли 668 городов. Докажите, что из каждого города этой республики можно доехать до любого другого ее города, не выезжая за пределы республики.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109806  (#04.5.10.7)

Темы:   [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Покрытия ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Гомотетичные многоугольники ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Треугольник T содержится внутри выпуклого центрально-симметричного многоугольника M . Треугольник T' получается из треугольника T центральной симметрией относительно некоторой точки P , лежащей внутри треугольника T . Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника T' лежит внутри или на границе многоугольника M .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями