Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 54]

Задача 109853 (#06.5.9.4)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Скробот Д.

Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника ABC в точке A, пересекает сторону AB в точке K, а также пересекает сторону BC. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке T. Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной, проведённой из точки B к ω.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109854 (#06.5.9.5)

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Мурашкин М.В.

Пусть a₁, a₂, ..., a₁₀ – натуральные числа, a₁ < a₂ < ... < a₁₀. Пусть b_k – наибольший делитель a_k, меньший a_k. Оказалось, что b₁ > b₂ > ... > b₁₀.
Докажите, что a₁₀ > 500.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109855 (#06.5.9.6)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Неравенства с углами	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Берлов С.Л.

На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны точки P, Q, R соответственно таким образом, что AP = CQ и четырёхугольник RPBQ– вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках A и C пересекают прямые RP и RQ в точках X и Y соответственно. Докажите, что RX = RY.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109856 (#06.5.9.7)

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Связность. Связные множества	]
	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Клетчатый квадрат 100×100 разрезан на доминошки. Двое играют в игру. Каждым ходом игрок склеивает две соседних по стороне клетки, между которыми был проведён разрез. Игрок проигрывает, если после его хода фигура получилась связной, то есть весь квадрат можно поднять со стола, держа его за одну клетку. Кто выиграет при правильной игре – начинающий или его соперник?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109857 (#06.5.9.8)

Темы:	[	Итерации	]
	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

Дан квадратный трёхчлен f(x) = x² + ax + b. Уравнение f(f(x)) = 0 имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна –1. Докажите, что b ≤ – ¼.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 54]