Версия для печати
Убрать все задачи

---

Один из двух приведённых квадратных трёхчленов имеет два корня, меньших 1000, другой – два корня, больших 1000. Может ли сумма этих трёхчленов иметь один корень меньший 1000, а другой – больший 1000?

   Решение

---

Имеется таблица n×n, в  n – 1  клетках которой записаны единицы, а в остальных клетках – нули. С таблицей разрешается проделывать следующую операцию: выбрать клетку, вычесть из числа, стоящего в этой клетке, единицу, а ко всем остальным числам, стоящим в одной строке или в одном столбце с выбранной клеткой, прибавить единицу. Можно ли из этой таблицы с помощью указанных операций получить таблицу, в которой все числа равны?

   Решение

---

Охотник рассказал приятелю, что видел в лесу волка с метровым хвостом. Тот рассказал другому приятелю, что в лесу видели волка с двухметровым хвостом. Передавая новость дальше, простые люди увеличивали длину хвоста вдвое, а творческие – втрое. В результате по телевизору сообщили о волке с хвостом длиной 864 метра. Сколько простых и сколько творческих людей "отрастили" волку хвост?

   Решение

---

В параллелограмме ABCD точки M и N – середины сторон BC и CD соответственно. Могут ли лучи AM и AN делить угол BAD на три равные части?

   Решение

---

Числа от 1 до 9 разместите в кружках фигуры (см. рис.) так, чтобы сумма четырёх чисел, находящихся в кружках-вершинах всех квадратов (их шесть), была постоянной.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109958  (#98.4.8.1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Четность и нечетность ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Существуют ли такие n-значные числа M и N, что все цифры M – чётные, все цифры N – нечётные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи M или N хотя бы один раз и M делится на N?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108107  (#98.4.8.2)

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В параллелограмме ABCD точки M и N – середины сторон BC и CD соответственно. Могут ли лучи AM и AN делить угол BAD на три равные части?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109960  (#98.4.8.3)

Темы:   [ Полуинварианты ] [ Процессы и операции ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8

В колоде 52 карты, по 13 каждой масти. Ваня вынимает из колоды по одной карте. Вынутые карты в колоду не возвращаются. Каждый раз перед тем, как вынуть карту, Ваня загадывает какую-нибудь масть. Докажите, что если Ваня каждый раз будет загадывать масть, карт которой в колоде осталось не меньше, чем карт любой другой масти, то загаданная масть совпадет с мастью вынутой карты не менее 13 раз.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109961  (#98.4.8.4)

Темы:   [ Системы точек ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Взаимное расположение двух окружностей ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

На плоскости дано множество из n9 точек. Для любых 9 его точек можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных окружностях. Докажите, что все n точек лежат на двух окружностях.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109962  (#98.4.8.5)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Перебор случаев ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Числа от 1 до 9 разместите в кружках фигуры (см. рис.) так, чтобы сумма четырёх чисел, находящихся в кружках-вершинах всех квадратов (их шесть), была постоянной.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями