Страница: 1
2 >> [Всего задач: 8]
Задача
110009
(#99.4.9.1)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
По кругу выписаны в некотором порядке все натуральные числа от 1 до
N ,
N
2
.
При этом для любой пары соседних чисел имеется хотя бы одна цифра,
встречающаяся в десятичной записи каждого из них.
Найдите наименьшее возможное значение
N .
Задача
108240
(#99.4.9.2)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9
|
В треугольнике
ABC на стороне
AC нашлись такие точки
D и
E , что
AB=AD и
BE=EC (
E между
A и
D ).
Точка
F – середина дуги
BC (не содержащей точки
A )
окружности, описанной около треугольника
ABC . Докажите,
что точки
B ,
E ,
D и
F лежат на одной окружности.
Задача
110011
(#99.4.9.3)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Произведение положительных чисел x, y и z равно 1.
Докажите, что если 1/x + 1/y + 1/z ≥ x + y + z, то для любого натурального k выполнено неравенство x–k + y–k + z–k ≥ xk + yk + zk.
Задача
110012
(#99.4.9.4)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Лабиринт представляет собой квадрат 8×8, в каждой клетке 1×1 которого нарисована одна из четырёх стрелок (вверх, вниз, вправо, влево). Верхняя сторона правой верхней клетки – выход из лабиринта. В левой нижней клетке находится фишка, которая каждым своим ходом перемещается на одну клетку в направлении, указанном стрелкой. После каждого хода стрелка в клетке, в которой только что была фишка, поворачивается на 90° по часовой стрелке. Если фишка должна сделать ход, выводящий ее за пределы квадрата 8×8, она остается на месте, а стрелка также поворачивается на 90° по часовой стрелке.
Докажите, что рано или поздно фишка выйдет из лабиринта.
Задача
110013
(#99.4.9.5)
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Все клетки клетчатой плоскости окрашены в 5 цветов так, что в любой фигуре вида
все цвета различны. Докажите, что и в любой фигуре вида
все цвета различны.
Страница: 1
2 >> [Всего задач: 8]
Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Всероссийская олимпиада по математике
>>
1998-1999
>>
Региональный этап
>>
9 Класс
Решение 
