Версия для печати
Убрать все задачи

---

Произведение положительных чисел x, y и z равно 1.
Докажите, что если  ¹/_x + ¹/_y + ¹/_z ≥ x + y + z,  то для любого натурального k выполнено неравенство  x^–k + y^–k + z^–k ≥ x^k + y^k + z^k.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110009  (#99.4.9.1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Перебор случаев ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

По кругу выписаны в некотором порядке все натуральные числа от 1 до N , N2 . При этом для любой пары соседних чисел имеется хотя бы одна цифра, встречающаяся в десятичной записи каждого из них. Найдите наименьшее возможное значение N .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108240  (#99.4.9.2)

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В треугольнике ABC на стороне AC нашлись такие точки D и E , что AB=AD и BE=EC ( E между A и D ). Точка F – середина дуги BC (не содержащей точки A ) окружности, описанной около треугольника ABC . Докажите, что точки B , E , D и F лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110011  (#99.4.9.3)

Темы:   [ Неравенства. Метод интервалов ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Произведение положительных чисел x, y и z равно 1.
Докажите, что если  ¹/_x + ¹/_y + ¹/_z ≥ x + y + z,  то для любого натурального k выполнено неравенство  x^–k + y^–k + z^–k ≥ x^k + y^k + z^k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110012  (#99.4.9.4)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Лабиринт представляет собой квадрат 8×8, в каждой клетке 1×1 которого нарисована одна из четырёх стрелок (вверх, вниз, вправо, влево). Верхняя сторона правой верхней клетки – выход из лабиринта. В левой нижней клетке находится фишка, которая каждым своим ходом перемещается на одну клетку в направлении, указанном стрелкой. После каждого хода стрелка в клетке, в которой только что была фишка, поворачивается на 90° по часовой стрелке. Если фишка должна сделать ход, выводящий ее за пределы квадрата 8×8, она остается на месте, а стрелка также поворачивается на 90° по часовой стрелке. Докажите, что рано или поздно фишка выйдет из лабиринта.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110013  (#99.4.9.5)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Раскраски ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Все клетки клетчатой плоскости окрашены в 5 цветов так, что в любой фигуре вида

все цвета различны. Докажите, что и в любой фигуре вида

все цвета различны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями