ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Петя и Коля играют в следующую игру: они по очереди изменяют один из коэффициентов a или b квадратного трёхчлена x² + ax + b: Петя на 1, Коля – на 1 или на 3. Коля выигрывает, если после хода одного из игроков получается трёхчлен, имеющий целые корни. Верно ли, что Коля может выиграть при любых начальных целых коэффициентах a и b независимо от игры Пети?

   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 110077  (#01.4.9.1)

Темы:   [ Задачи на проценты и отношения ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Можно ли числа 1, 2, ..., 10 расставить в ряд в некотором порядке так, чтобы каждое из них, начиная со второго, отличалось от предыдущего на целое число процентов?

Прислать комментарий     Решение

Задача 110070  (#01.4.9.2)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Петя и Коля играют в следующую игру: они по очереди изменяют один из коэффициентов a или b квадратного трёхчлена x² + ax + b: Петя на 1, Коля – на 1 или на 3. Коля выигрывает, если после хода одного из игроков получается трёхчлен, имеющий целые корни. Верно ли, что Коля может выиграть при любых начальных целых коэффициентах a и b независимо от игры Пети?

Прислать комментарий     Решение

Задача 108144  (#01.4.9.3)

Темы:   [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В параллелограмме ABCD на сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно, причём  AM = CN,  Q – точка пересечения отрезков AN и CM.
Докажите, что DQ – биссектриса угла D.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110072  (#01.4.9.4)

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Лифшиц Ю.

Мишень представляет собой треугольник, разбитый тремя семействами параллельных прямых на 100 равных правильных треугольничков с единичными сторонами. Снайпер стреляет по мишени. Он целится в треугольничек и попадает либо в него, либо в один из соседних с ним по стороне. Он видит результаты своей стрельбы и может выбирать, когда стрельбу заканчивать. Какое наибольшее число треугольничков он может с гарантией поразить ровно пять раз?
Прислать комментарий     Решение


Задача 108219  (#01.4.9.5)

Темы:   [ Пятиугольники ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Внутри выпуклого пятиугольника выбраны две точки. Докажите, что можно выбрать четырёхугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что внутрь него попадут обе выбранные точки.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .