Этапы:
-
Региональный этап
(28 задач)
Заключительный этап
(27 задач)
Фильтр
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
На плоскости даны n>1 точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен, а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение
Докажите, что две несовпадающие коники имеют не более четырех общих точек.
Решение
При каком наименьшем $n$ для любого набора $A$ из $2007$ множеств найдется такой набор $B$ из $n$ множеств, что каждое множество набора $A$ является пересечением двух различных множеств набора $B$? Решение
Убрать все задачи
На плоскости даны n>1 точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен, а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?
РешениеДокажите, что две несовпадающие коники имеют не более четырех общих точек.
РешениеПри каком наименьшем $n$ для любого набора $A$ из $2007$ множеств найдется такой набор $B$ из $n$ множеств, что каждое множество набора $A$ является пересечением двух различных множеств набора $B$?
Решение
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 64]
Среди натуральных чисел от 1 до 1200 выбрали 372 различных числа так,
что никакие два из них не различаются на 4, 5 или 9. Докажите,
что число 600 является одним из выбранных.
При каком наименьшем $n$ для любого набора $A$ из $2007$ множеств
найдется такой набор $B$ из $n$ множеств,
что каждое множество набора $A$ является
пересечением двух различных множеств набора $B$?
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 64]
Задача 111785 (#07.4.9.8) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 111770 (#06.4.10.1) |
|
|
В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k (1 ≤ k ≤ 25) в любых k коробках лежат шарики ровно k + 1 различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.
|
|
|
Решение |
Задача 111771 (#07.4.10.2) |
|
|
Для вещественных x > y > 0 и натуральных n > k докажите неравенство (xk – yk)n < (xn – yn)k.
|
|
|
Решение |
Задача 111772 (#07.4.10.3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 111860 (#07.4.10.4) |
|
Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Отрезки CD и BE пересекаются в точке O. Пусть M и N – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники ADE и ODE. Докажите, что середина меньшей дуги DE лежат на прямой MN.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 64]
