Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть n – натуральное число. На  2n + 1  карточках написано по ненулевому целому числу; сумма всех чисел также ненулевая. Требуется этими карточками заменить звёздочки в выражении  *x²ⁿ + *x^2n–1 + ... *x + *  так, чтобы полученный многочлен не имел целых корней. Всегда ли это можно сделать?

   Решение

---

У нумизмата есть 100 одинаковых по внешнему виду монет. Он знает, что среди них 30 настоящих и 70 фальшивых монет. Кроме того, он знает, что массы всех настоящих монет одинаковы, а массы всех фальшивых – разные, причём каждая фальшивая монета тяжелее настоящей; однако точные массы монет неизвестны. Имеются двухчашечные весы без гирь, на которых можно за одно взвешивание сравнить массы двух групп, состоящих из одинакового числа монет. За какое наименьшее количество взвешиваний на этих весах нумизмат сможет гарантированно найти хотя бы одну настоящую монету?

   Решение

---

Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Отрезки CD и BE пересекаются в точке O. Пусть M и N – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники ADE и ODE. Докажите, что середина меньшей дуги DE лежат на прямой MN.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111770  (#06.4.10.1)

Тема:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k  (1 ≤ k ≤ 25)  в любых k коробках лежат шарики ровно  k + 1  различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111771  (#07.4.10.2)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Для вещественных  x > y > 0  и натуральных  n > k  докажите неравенство  (x^k – y^k)ⁿ < (xⁿ – yⁿ)^k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111772  (#07.4.10.3)

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

При каком наименьшем $n$ для любого набора $A$ из $2007$ множеств найдется такой набор $B$ из $n$ множеств, что каждое множество набора $A$ является пересечением двух различных множеств набора $B$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111860  (#07.4.10.4)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Отрезки CD и BE пересекаются в точке O. Пусть M и N – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники ADE и ODE. Докажите, что середина меньшей дуги DE лежат на прямой MN.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111791  (#07.4.10.5)

Темы:   [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В натуральном числе A переставили цифры, получив число B. Известно, что     Найдите наименьшее возможное значение n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями