Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 111882 (#08.5.9.6)

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Берлов С.Л.

Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках X и Y соответственно. Точка K– середина дуги AB описанной окружности треугольника ABC (не содержащей точки C). Оказалось, что прямая XY делит отрезок AK пополам. Чему может быть равен угол BAC?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111883 (#08.5.9.7)

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Полуинварианты	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Обыкновенные дроби	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Храбров А.

На доске написано натуральное число. Если на доске написано число x, то можно дописать на нее число 2x + 1 или ^x/_x+2. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111884 (#08.5.9.8)

Темы:	[	Взвешивания	]
Темы:	[	Индукция	]

Сложность: 7-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кноп К.А.

В нашем распоряжении имеются 3^2k неотличимых по виду монет, одна из которых фальшивая– она весит чуть легче настоящей. Кроме того, у нас есть трое двухчашечных весов. Известно, что двое весов исправны, а одни– сломаны (показываемый ими исход взвешивания никак не связан с весом положенных на них монет, т.е. может быть как верным, так и искаженным в любую сторону, причем на разных взвешиваниях– искаженным по-разному). При этом неизвестно, какие именно весы исправны, а какие сломаны. Как определить фальшивую монету за 3k + 1 взвешиваний?

Прислать комментарий Решение

Задача 111877 (#08.5.10.1)

Темы:	[	Произведения и факториалы	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Авторы: Агаханов Н.Х., Богданов И.И.

Существуют ли такие 14 натуральных чисел, что при увеличении каждого из них на 1 произведение всех чисел увеличится ровно в 2008 раз?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111870 (#08.5.10.2)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Перестановки и подстановки	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Чувилин К.

Дана таблица n×n, столбцы которой пронумерованы числами от 1 до n. В клетки таблицы расставляются числа 1, ..., n так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовём клетку хорошей, если число в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких n существует расстановка, в которой во всех строках одинаковое количество хороших клеток?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]