Версия для печати
Убрать все задачи

---

Миша стоит в центре круглой лужайке радиуса 100 метров. Каждую минуту он делает шаг длиной 1 метр. Перед каждым шагом он объявляет направление, в котором хочет шагнуть. Катя имеет право заставить его сменить направление на противоположное. Может ли Миша действовать так, чтобы в какой-то момент обязательно выйти с лужайки, или Катя всегда сможет ему помешать?

   Решение

---

Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность (из большего вычел меньшее). В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку.

   Решение

---

В клетки квадрата 100×100 расставили числа 1, 2, ..., 10000, каждое – по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть S – минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать S?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115353  (#06.4.11.5)

Темы:   [ Неравенства для углов треугольника ] [ Доказательство от противного ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Тригонометрические неравенства ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Углы треугольника α, β, γ удовлетворяют неравенствам sin α > cos β, sin β > cos γ, sin γ > cos α . Докажите, что треугольник остроугольный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115354  (#06.4.11.6)

Темы:   [ Неравенства с объемами ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Объем тела равен сумме объемов его частей ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD . Докажите, что для любой точки O внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров OSAB и OSCD равна сумме объёмов тетраэдров OSBC и OSDA .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115355  (#06.4.11.7)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Целые числа a, b, c таковы, что значения квадратных трёхчленов  bx² + cx + a  и  cx² + ax + b  при  x = 1234  совпадают.
Может ли первый трёхчлен при  x = 1  принимать значение 2009?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115356  (#06.4.11.8)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

В клетки квадрата 100×100 расставили числа 1, 2, ..., 10000, каждое – по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть S – минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать S?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями