Дан тетраэдр ABCD. Вписанная в него сфера σ касается грани ABC в точке T. Сфера σ' касается грани ABC в точке T' и продолжений граней ABD, BCD, CAD. Докажите, что прямые AT и AT' симметричны относительно биссектрисы угла BAC.

   Решение

Внутри прямого угла KLM взята точка P. Окружность S₁ с центром O₁ касается сторон LK и LP угла KLP в точках A и D соответственно, а окружность S₂ с центром O₂ такого же радиуса касается сторон угла MLP, причём стороны LP – в точке B. Оказалось, что точка O₁ лежит на отрезке AB. Пусть C – точка пересечения прямых O₂D и KL. Докажите, что BC – биссектриса угла ABD.

   Решение

Существуют ли такие 14 натуральных чисел, что при увеличении каждого из них на 1 произведение всех чисел увеличится ровно в 2008 раз?

   Решение

Восемь клеток одной диагонали шахматной доски назовём забором. Ладья ходит по доске, не наступая на одну и ту же клетку дважды и не наступая на клетки забора (промежуточные клетки не считаются посещёнными). Какое наибольшее число прыжков через забор может совершить ладья?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

Можно ли раскрасить натуральные числа в 2009 цветов так, чтобы каждый цвет встречался бесконечное число раз, и не нашлось тройки чисел, покрашенных в три различных цвета, таких, что произведение двух из них равно третьему?

Прислать комментарий

Решение

Восемь клеток одной диагонали шахматной доски назовём забором. Ладья ходит по доске, не наступая на одну и ту же клетку дважды и не наступая на клетки забора (промежуточные клетки не считаются посещёнными). Какое наибольшее число прыжков через забор может совершить ладья?

Прислать комментарий

Решение

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник A₂B₂C₂, равный треугольнику A₁B₁C₁ и такой, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ будут параллельны?

Прислать комментарий

Решение

Найдите все такие натуральные n, что при некоторых отличных от нуля действительных числах a, b, c, d многочлен  (ax + b)¹⁰⁰⁰ – (cx + d)¹⁰⁰⁰  после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно n ненулевых коэффициентов.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике  ABC проведена биссектриса  BD (точка  D лежит на отрезке  AC ). Прямая  BD пересекает окружность  Ω , описанную около треугольника  ABC , в точках  B и  E . Окружность  ω , построенная на отрезке  DE как на диаметре, пересекает окружность  Ω в точках  E и  F . Докажите, что прямая, симметричная прямой  BF относительно прямой  BD , содержит медиану треугольника  ABC .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]