Версия для печати
Убрать все задачи

---

В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые две соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые две фишки, между которыми стоят ровно 4 фишки. За какое наименьшее количество рублей можно переставить фишки в обратном порядке?

   Решение

---

 Гриша едет по маршруту длиной 100 км. В его автомобиле имеется компьютер, дающий прогноз времени, оставшегося до прибытия в конечный пункт. Это время рассчитывается исходя из предположения, что средняя скорость автомобиля на оставшемся участке пути будет такой же, как и на уже пройденном.
  Сразу же после старта компьютер показал "2 часа" и всё дальнейшее время показывал именно это число (компьютер исправен). Найдите x(t) – зависимость пути, который проехал Гриша, от времени с момента старта. Постройте график этой зависимости.

   Решение

---

На каждой из клеток доски размером 9×9 находится фишка. Петя хочет передвинуть каждую фишку на соседнюю по стороне клетку так, чтобы снова в каждой из клеток оказалось по одной фишке. Сможет ли Петя это сделать?

   Решение

---

В пространстве с декартовой системой координат дан прямоугольный параллелепипед, вершины которого имеют целочисленные координаты. Его объём равен 2011. Докажите, что рёбра параллелепипеда параллельны координатным осям.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116275  (#1)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

У барона Мюнхгаузена есть 50 гирь. Веса этих гирь – различные натуральные числа, не превосходящие 100, а суммарный вес гирь – чётное число. Барон утверждает, что нельзя часть этих гирь положить на одну чашу весов, а остальные – на другую чашу так, чтобы весы оказались в равновесии. Могут ли эти слова барона быть правдой?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116281  (#2)

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

В пространстве с декартовой системой координат дан прямоугольный параллелепипед, вершины которого имеют целочисленные координаты. Его объём равен 2011. Докажите, что рёбра параллелепипеда параллельны координатным осям.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116282  (#3)

Темы:   [ Прямая призма ] [ Свойства сечений ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

От балки в форме треугольной призмы с двух сторон отпилили (плоской пилой) по куску. Спилы не задели ни оснований, ни друг друга.
  а) Могут ли спилы быть подобными, но не равными треугольниками?
  б) Может ли один спил быть равносторонним треугольником со стороной 1, а другой – равносторонним треугольником со стороной 2?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116283  (#4)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Даны N синих и N красных палочек, причём сумма длин синих палочек равна сумме длин красных. Известно, что из синих палочек можно сложить N-угольник, и из красных – тоже. Всегда ли можно выбрать одну синюю и одну красную палочки и перекрасить их (синюю – в красный цвет, а красную – в синий) так, что снова из синих палочек можно будет сложить N-угольник, и из красных – тоже? Решите задачу
  а) для  N = 3;
  б) для произвольного натурального  N > 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116284  (#5)

Темы:   [ Трапеции (прочее) ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD являются соответственно хордами окружностей ω₁ и ω₂, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг AB и CD равны α и β. Окружности ω₃ и ω₄ также имеют хорды AB и CD соответственно. Их дуги AB и CD, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω₃ и ω₄ тоже касаются.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями