ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи
Коля Васин задумал число: 1, 2 или 3. Вы
задаете ему только один вопрос, на который он может ответить ``
да'', ``нет'' или ``не знаю''. Сможете ли вы
угадать число, задав всего лишь один вопрос?
Пусть a и b – два положительных числа, причём a < b. Построим по этим числам две последовательности {an} и {bn} по правилам: a0 = a, b0 = b, an+1 =
Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел. Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается μ(a, b).
Исследуйте последовательности на сходимость:
Решить в простых числах уравнение pqr = 7(p + q + r). Докажите, что на рёбрах связного графа можно так расставить стрелки, чтобы из некоторой вершины можно было добраться по стрелкам до любой другой.
Марсианские
амебы II. При помощи ним-сумм (смотри задачу 5.76) можно исследовать самые разные
игры и процессы. Например, можно получить еще одно решение
задачи 4.20.
f (A)
Какие рассуждения остается провести, чтобы решить задачу про амеб?
В некоторой стране есть столица и еще 100 городов. Некоторые города (в том числе и столица) соединены дорогами с односторонним движением. Из каждого нестоличного города выходит 20 дорог, и в каждый такой город входит 21 дорога. Докажите, что в столицу нельзя проехать ни из одного города.
Имеется несколько кучек камней.
Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять
из одной кучки от 1 до 5 камней. Определите выигрышную
стратегию в этой игре, если тот, кто взял последний камень а)
выигрывает; б) проыигрывает.
Докажите, что связный граф с 2n нечётными вершинами можно нарисовать, оторвав карандаш от бумаги ровно n –1 раз и не проводя никакое ребро дважды. |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 52]
Семиугольник разбит на выпуклые пяти- и шестиугольники, причём так, что каждая его вершина является вершиной по крайней мере двух многоугольников разбиения. Докажите, что число пятиугольников разбиения не меньше 13.
Докажите, что связный граф, имеющий не более двух нечётных вершин, можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз.
Можно ли составить решётку, изображённую на рисунке
На плоскости дано 100 окружностей, составляющих связную (то есть не распадающуюся на части) фигуру.
Докажите, что связный граф с 2n нечётными вершинами можно нарисовать, оторвав карандаш от бумаги ровно n –1 раз и не проводя никакое ребро дважды.
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 52]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке