В выпуклом четырёхугольнике ABCD точка M – середина диагонали AC, точка N – середина диагонали BD. Прямая MN пересекает стороны AB и CD в точках M' и N'. Доказать, что если  MM' = NN',  то  BC || AD.

   Решение

Два равных диска насажены на одну ось. На окружности каждого из них по кругу на одинаковых расстояниях в произвольном порядке расставлены числа 1, 2, 3, ..., 20. Всегда ли можно повернуть один диск относительно другого так, чтобы никакие два одинаковых числа не стояли друг против друга?

   Решение

В треугольник вписана окружность, и точки касания её со сторонами треугольника соединены между собой. В полученный таким образом треугольник вписана новая окружность, точки касания которой со сторонами являются вершинами третьего треугольника, имеющего те же углы, что и первоначальный треугольник. Найти эти углы.

   Решение

Найти последнюю цифру числа  7¹⁹⁸⁸ + 9¹⁹⁸⁸.

   Решение

Найти последнюю цифру числа  1·2 + 2·3 + ... + 999·1000.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      

Существует ли такое натуральное x, что  x² + x + 1  делится на 1985?

Прислать комментарий

Решение

Число x оканчивается на 5. Доказать, что x² оканчивается на 25.

Прислать комментарий

Решение

Найти последнюю цифру числа  7¹⁹⁸⁸ + 9¹⁹⁸⁸.

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечётные цифры.

Прислать комментарий

Решение

Найти последнюю цифру числа  1·2 + 2·3 + ... + 999·1000.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]