Версия для печати
Убрать все задачи
С помощью циркуля и линейки постройте квадрат, три вершины которого
лежали бы на трёх данных параллельных прямых.
Решение
В трапеции ABCD биссектрисы углов A и D пересекаются в точке E, лежащей на боковой стороне BC. Эти биссектрисы разбивают трапецию на три треугольника, в которые вписали окружности. Одна из этих окружностей касается основания AB в точке K, а две другие касаются биссектрисы DE в точках M и N. Докажите, что BK = MN.
Решение
На плоскости даны точки A1 , A2 , An и точки B1 ,
B2 , Bn . Докажите, что точки Bi можно
перенумеровать так, что для всех i
j
угол между векторами 
и 
– острый или прямой.
Решение
Точки A1, B1, C1 выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что AB1 – AC1 = CA1 – CB1 = BC1 – BA1. Пусть OA, OB и OC – центры описанных окружностей треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника OAOBOC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.
Решение
2000 яблок лежат в нескольких корзинах. Разрешается убирать корзины и
вынимать яблоки из корзин.
Доказать, что можно добиться того, чтобы во всех оставшихся корзинах было поровну яблок, а общее число яблок было не меньше 100.
Решение
Доказать, что 1·2·3 + 2·3·4 + ... + 98·99·100 ≠ 19891988.
Решение
Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Иванов С.В., Математический кружок
>>
глава 12. Уравнения в целых числах
