На плоскости даны 2005 точек (никакие три из которых не лежат на одной прямой). Каждые две точки соединены отрезком. Тигр и Осёл играют в следующую игру. Осёл помечает каждый отрезок одной из цифр, а затем Тигр помечает каждую точку одной из цифр. Осёл выигрывает, если найдутся две точки, помеченные той же цифрой, что и соединяющий их отрезок, и проигрывает в противном случае. Доказать, что при правильной игре Осёл выиграет.

   Решение

Вершины треугольника ABC расположены в узлах целочисленной решетки, причем на его сторонах других узлов нет, а внутри его есть ровно один узел O. Докажите, что O — точка пересечения медиан треугольника ABC.

   Решение

Какое наибольшее значение может принимать наибольший общий делитель чисел a и b, если известно, что  ab = 600?

   Решение

На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Докажите, что  AP = BP + CP.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      

На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Докажите, что  AP = BP + CP.

Прислать комментарий

Решение

Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри правильного треугольника ABC, для которых MA² = MB² + MC².

Прислать комментарий

Решение

Шестиугольник ABCDEF правильный, K и M — середины отрезков BD и EF. Докажите, что треугольник AMK правильный.

Прислать комментарий

Решение

Пусть M и N — середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF, P — точка пересечения отрезков AM и BN.
а) Найдите величину угла между прямыми AM и BN.
б) Докажите, что S_ABP = S_MDNP.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB и BC правильного треугольника ABC взяты точки M и N так, что MN| AC, E — середина отрезка AN, D — центр треугольника BMN. Найдите величины углов треугольника CDE.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]