Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существует ли такой квадратный трёхчлен P(x) с целыми коэффициентами, что для любого натурального числа n, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число P(n) также записывается одними единицами?

   Решение

---

На отрезке AB взята точка C и на отрезках AC, BC и AB как на диаметрах построены полуокружности, лежащие по одну сторону от прямой AB. Через точку C проведена прямая, перпендикулярная AB, и в образовавшиеся криволинейные треугольники ACD и BCD вписаны окружности S₁ и S₂ (рис.). Докажите, что радиусы этих окружностей равны.

   Решение

---

Юра начертил на клетчатой бумаге прямоугольник (по клеточкам) и нарисовал на нём картину. После этого он нарисовал вокруг картины рамку шириной в одну клеточку (см. рис.). Оказалось, что площадь картины равна площади рамки. Какие размеры могла иметь Юрина картина?

   Решение

---

Вписанная окружность разностороннего треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Окружность с диаметром BC' пересекает вписанную окружность вторично в точке A₁, а биссектрису угла B вторично в точке A₂. Окружность с диаметром AC' пересекает вписанную окружность вторично в точке B₁, а биссектрису угла A вторично в точке B₂. Докажите, что прямые AB, A₁B₁, A₂B₂ пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Даны числа 1, 2, ..., N, каждое из которых окрашено либо в чёрный, либо в белый цвет. Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые три числа, одно из которых равно полусумме двух других. При каких N всегда можно сделать все числа белыми?

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, на которой две данные окружности высекали бы равные хорды.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57826

Темы:   [ Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек ] [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Найдите геометрическое место точек: а) сумма; б) разность расстояний от которых до двух данных прямых имеет данную величину.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57827

Темы:   [ Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек ] [ Необычные построения ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Угол, изготовленный из прозрачного материала, двигают так, что две непересекающиеся окружности касаются его сторон внутренним образом. Докажите, что на нем можно отметить точку, которая описывает дугу окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55699

Темы:   [ Перенос помогает решить задачу ] [ Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, на которой две данные окружности высекали бы равные хорды.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57825

Темы:   [ Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек ] [ Четырехугольники (построения) ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями