Лягушка прыгает по вершинам треугольника ABC, перемещаясь каждый раз в одну из соседних вершин.
Сколькими способами она может попасть из A в A за n прыжков?

   Решение

Пусть характеристическое уравнение (11.3 ) последовательности (11.2) имеет комплексные корни x_{1, 2} = a±ib = re^±i. Докажите, что для некоторой пары чисел c₁, c₂ будет выполняться равенство

a_n = rⁿ(c₁cos n + c₂sin n).

   Решение

Докажите, что если  ∠BAC = 2∠ABC,  то   BC² = (AC + AB)·AC.

   Решение

На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC₁B и AB₁C с углом φ при вершине.
  а) M – точка медианы AA₁ (или её продолжения), равноудаленная от точек B₁ и C₁. Докажите, что  ∠B₁MC₁ = φ.
  б) O – точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноудаленная от точек B₁ и C₁. Докажите, что  ∠B₁OC₁ = 180° – φ.

   Решение

Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Концы отрезка EF, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах AB и CD. Докажите, что  AE : CF = AO : CO.

   Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 13]      

Докажите, что если  ∠BAC = 2∠ABC,  то   BC² = (AC + AB)·AC.

Прислать комментарий

Решение

Точка P лежит внутри треугольника ABC, причём   ∠ABP = ∠ACP.  На прямых AB и AC взяты такие точки C₁ и B₁, что  BC₁ : CB₁ = CP : BP.  Докажите, что одна из диагоналей параллелограмма, две стороны которого лежат на прямых BP и CP, а две другие стороны (или их продолжения) проходят через B₁ и C₁, параллельна BC.

Прислать комментарий

Решение

Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Концы отрезка EF, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах AB и CD. Докажите, что  AE : CF = AO : CO.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 13]