Из вершины A остроугольного треугольника ABC по биссектрисе угла A выпустили бильярдный шарик, который отразился от стороны BC по закону "угол падения равен углу отражения" и дальше катился по прямой, уже ни от чего не отражаясь. Докажите, что если  ∠A = 60°,  то траектория шарика проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Точка P лежит внутри треугольника ABC, причём   ∠ABP = ∠ACP.  На прямых AB и AC взяты такие точки C₁ и B₁, что  BC₁ : CB₁ = CP : BP.  Докажите, что одна из диагоналей параллелограмма, две стороны которого лежат на прямых BP и CP, а две другие стороны (или их продолжения) проходят через B₁ и C₁, параллельна BC.

   Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 13]      

Докажите, что если  ∠BAC = 2∠ABC,  то   BC² = (AC + AB)·AC.

Прислать комментарий

Решение

Точка P лежит внутри треугольника ABC, причём   ∠ABP = ∠ACP.  На прямых AB и AC взяты такие точки C₁ и B₁, что  BC₁ : CB₁ = CP : BP.  Докажите, что одна из диагоналей параллелограмма, две стороны которого лежат на прямых BP и CP, а две другие стороны (или их продолжения) проходят через B₁ и C₁, параллельна BC.

Прислать комментарий

Решение

Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Концы отрезка EF, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах AB и CD. Докажите, что  AE : CF = AO : CO.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 13]