ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Точки A', B' и C' симметричны некоторой точке P относительно сторон BC, CA и AB треугольника ABC.
а) Докажите, что описанные окружности треугольников AB'C', A'BC', A'B'C и ABC имеют общую точку.
б) Докажите, что описанные окружности треугольников A'BC, AB'C, ABC' и A'B'C' имеют общую точку Q.
в) Пусть I, J, K и O — центры описанных окружностей треугольников  A'BC, AB'C, ABC' и A'B'C'. Докажите, что  QI : OI = QJ : OJ = QK : OK.

   Решение

Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 104]      



Задача 56626  (#02.081)

Тема:   [ Три окружности пересекаются в одной точке ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1. Докажите, что если треугольники A1B1C1 и ABC подобны и противоположно ориентированы, то описанные окружности треугольников  AB1C1, A1BC1 и A1B1C проходят через центр описанной окружности треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56627  (#02.082)

Тема:   [ Три окружности пересекаются в одной точке ]
Сложность: 6
Классы: 8,9

Точки A', B' и C' симметричны некоторой точке P относительно сторон BC, CA и AB треугольника ABC.
а) Докажите, что описанные окружности треугольников AB'C', A'BC', A'B'C и ABC имеют общую точку.
б) Докажите, что описанные окружности треугольников A'BC, AB'C, ABC' и A'B'C' имеют общую точку Q.
в) Пусть I, J, K и O — центры описанных окружностей треугольников  A'BC, AB'C, ABC' и A'B'C'. Докажите, что  QI : OI = QJ : OJ = QK : OK.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56628  (#02.083)

Тема:   [ Точка Микеля ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Четыре прямые образуют четыре треугольника.
а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (точка Микеля).
б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56629  (#02.084)

Тема:   [ Точка Микеля ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Прямая пересекает стороны AB, BC и CA треугольника (или их продолжения) в точках C1, B1 и A1O, Oa, Ob и Oc — центры описанных окружностей треугольников  ABC, AB1C1, A1BC1 и A1B1CH, Ha, Hb и Hc — ортоцентры этих треугольников. Докажите, что:
а)  $ \triangle$OaObOc $ \sim$ $ \triangle$ABC.
б) серединные перпендикуляры к отрезкам  OH, OaHa, ObHb и OcHc пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56630  (#02.085)

Тема:   [ Точка Микеля ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что точка Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на отрезке, соединяющем точки пересечения продолжений сторон.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 104]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .