Есть тысяча билетов с номерами 000, 001, ..., 999 и сто ящиков с номерами 00, 01, ..., 99. Билет разрешается опустить в ящик, если номер ящика может быть получен из номера билета вычеркиванием одной из цифр. Можно ли разложить все билеты в 50 ящиков?

   Решение

В окружности провели диаметр AB и параллельную ему хорду CD, так, что расстояние между ними равно половине радиуса этой окружности (см. рис.). Найдите угол CAB.

   Решение

Точки A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂ лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC.
а) Докажите, что если эти точки являются точками пересечения сторон треугольника ABC с продолжениями сторон треугольника A'B'C', полученного из треугольника ABC при гомотетии с центром в точке Лемуана K, то точки A₁, B₂, B₁, C₂, C₁, A₂ лежат на одной окружности (окружность Тукера).
б) Докажите, что если отрезки A₁B₂, B₁C₂ и C₁A₂ равны и антипараллельны сторонам AB, BC и CA, то точки A₁, B₂, B₁, C₂, C₁, A₂ лежат на одной окружности.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      

Точки A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂ лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC.
а) Докажите, что если эти точки являются точками пересечения сторон треугольника ABC с продолжениями сторон треугольника A'B'C', полученного из треугольника ABC при гомотетии с центром в точке Лемуана K, то точки A₁, B₂, B₁, C₂, C₁, A₂ лежат на одной окружности (окружность Тукера).
б) Докажите, что если отрезки A₁B₂, B₁C₂ и C₁A₂ равны и антипараллельны сторонам AB, BC и CA, то точки A₁, B₂, B₁, C₂, C₁, A₂ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что центр окружности Тукера лежит на прямой KO, где K — точка Лемуана, O — центр описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

а) Через точку Лемуана K проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (первая окружность Лемуана) .
б) Через точку Лемуана K проведены прямые, антипараллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (вторая окружность Лемуана).

Прислать комментарий

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точки Лемуана K на стороны треугольника ABC. Докажите, что K — точка пересечения медиан треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точки Лемуана K треугольника ABC на стороны BC, CA и AB. Докажите, что медиана AM треугольника ABC перпендикулярна прямой B₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]