О выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники  ABC, BCD, CDA и DAB, равны между собой. Докажите, что ABCD — прямоугольник.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

Четырехугольник ABCD выпуклый; точки  A₁, B₁, C₁ и D₁ таковы, что  AB||C₁D₁, AC||B₁D₁ и т. д. для всех пар вершин. Докажите, что четырехугольник  A₁B₁C₁D₁ тоже выпуклый, причем  A + C₁ = 180^o.

Прислать комментарий

Решение

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

Прислать комментарий

Решение

О выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники  ABC, BCD, CDA и DAB, равны между собой. Докажите, что ABCD — прямоугольник.

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый четырехугольник ABCD;  A₁, B₁, C₁ и D₁ — центры описанных окружностей треугольников  BCD, CDA, DAB и ABC. Аналогично для четырехугольника  A₁B₁C₁D₁ определяются точки  A₂, B₂, C₂ и D₂. Докажите, что четырехугольники ABCD и  A₂B₂C₂D₂ подобны, причем коэффициент их подобия равен  |(ctgA + ctgC)(ctgB + ctgD)/4|.

Прислать комментарий

Решение

Окружности, диаметрами которых служат стороны AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD, касаются сторон CD и AB соответственно. Докажите, что BC| AD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]