Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?

   Решение

Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
  а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две равновеликие части?
  б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)

   Решение

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно основания биссектрисы, проведённой к этой же стороне. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.

   Решение

Три богатыря бьются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает Змею половину всех голов и ещё одну, Добрыня Никитич – треть всех голов и ещё две, Алёша Попович – четверть всех голов и ещё три. Богатыри бьют по одному в каком хотят порядке, отрубая каждым ударом целое число голов. Если ни один богатырь не может ударить (число голов получается нецелым), Змей съедает всех троих. Смогут ли богатыри отрубить все головы 41!-головому Змею?

   Решение

Точка, лежащая внутри описанного n-угольника, соединена отрезками со всеми вершинами и точками касания. Образовавшиеся при этом треугольники попеременно окрашены в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей красных треугольников равно произведению площадей синих треугольников.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

Точка, лежащая внутри описанного n-угольника, соединена отрезками со всеми вершинами и точками касания. Образовавшиеся при этом треугольники попеременно окрашены в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей красных треугольников равно произведению площадей синих треугольников.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах треугольника внешним образом построены три квадрата. Какими должны быть углы треугольника, чтобы шесть вершин этих квадратов, отличных от вершин треугольника, лежали на одной окружности?

Прислать комментарий

Решение

В окружность вписан 2n-угольник  A₁...A_2n. Пусть  p₁,..., p_2n — расстояния от произвольной точки M окружности до сторон  A₁A₂, A₂A₃,..., A_2nA₁. Докажите, что  p₁p₃...p_{2n - 1} = p₂p₄...p_2n.

Прислать комментарий

Решение

Вписанный многоугольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что сумма радиусов всех вписанных в эти треугольники окружностей не зависит от разбиения.

Прислать комментарий

Решение

Два n-угольника вписаны в одну окружность, причем наборы длин их сторон одинаковы, но не обязательно равны соответственные стороны. Докажите, что площади этих многоугольников равны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]