Семь девяток выписали подряд: 9 9 9 9 9 9 9. Поставьте между некоторыми из них знаки «+» или «−», чтобы получившееся выражение равнялось 1989.

   Решение

Прямые PC и PD касаются окружности с диаметром AB (C и D — точки касания). Докажите, что прямая, соединяющая P с точкой пересечения прямых AC и BD, перпендикулярна AB.

   Решение

Около окружности описан n-угольник  A₁...A_n; l — произвольная касательная к окружности, не проходящая через вершины n-угольника. Пусть a_i — расстояние от вершины A_i до прямой l, b_i — расстояние от точки касания стороны  A_iA_{i + 1} с окружностью до прямой l. Докажите, что:
а) величина  b₁...b_n/(a₁...a_n) не зависит от выбора прямой l;
б) величина  a₁a₃...a_{2m - 1}/(a₂a₄...a_2m) не зависит от выбора прямой l, если n = 2m.

   Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 110]      

Точка, лежащая внутри описанного n-угольника, соединена отрезками со всеми вершинами и точками касания. Образовавшиеся при этом треугольники попеременно окрашены в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей красных треугольников равно произведению площадей синих треугольников.

Прислать комментарий

Решение

В 2n-угольнике (n нечетно)  A₁...A_2n, описанном около окружности с центром O, диагонали A₁A_{n + 1}, A₂A_{n + 2},..., A_{n - 1}A_{2n - 1} проходят через точку O. Докажите, что и диагональ A_nA_2n проходит через точку O.

Прислать комментарий

Решение

Окружность радиуса r касается сторон многоугольника в точках  A₁,..., A_n, причем длина стороны, на которой лежит точка A_i, равна a_i. Точка X удалена от центра окружности на расстояние d. Докажите, что a₁XA₁² + ... + a_nXA_n² = P(r² + d²), где P — периметр многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

Около окружности описан n-угольник  A₁...A_n; l — произвольная касательная к окружности, не проходящая через вершины n-угольника. Пусть a_i — расстояние от вершины A_i до прямой l, b_i — расстояние от точки касания стороны  A_iA_{i + 1} с окружностью до прямой l. Докажите, что:
а) величина  b₁...b_n/(a₁...a_n) не зависит от выбора прямой l;
б) величина  a₁a₃...a_{2m - 1}/(a₂a₄...a_2m) не зависит от выбора прямой l, если n = 2m.

Прислать комментарий

Решение

Некоторые стороны выпуклого многоугольника красные, остальные синие. Сумма длин красных сторон меньше половины периметра, и нет ни одной пары соседних синих сторон. Докажите, что в этот многоугольник нельзя вписать окружность.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 110]