На клетчатом листе закрасили 25 клеток. Может ли каждая из них иметь нечётное число закрашенных соседей?

   Решение

Докажите, что для плоского графа справедливо неравенство  2E ≥ 3F.

   Решение

Пусть O – одна из точек пересечения окружностей ω₁ и ω₂. Окружность ω с центром O пересекает ω₁ в точках A и B, а ω₂ – в точках C и D. Пусть X – точка пересечения прямых AC и BD. Докажите, что все такие точки X лежат на одной прямой.

   Решение

Дано натуральное число n > 1. Определить длину периода десятичной записи дроби 1/n.

   Решение

Две окружности касаются описанной окружности треугольника ABC в точке K; кроме того, одна из этих окружностей касается стороны AB в точке M, а другая касается стороны AC в точке N. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на прямой MN.

   Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 [Всего задач: 110]      

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точка X такова, что BAX = CDX = 90^o. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD лежит на прямой XO.

Прислать комментарий

Решение

Точки A и A₁, лежащие внутри окружности с центром O, симметричны относительно точки O. Лучи AP и A₁P₁ сонаправлены, лучи AQ и A₁Q₁ тоже сонаправлены. Докажите, что точка пересечения прямых P₁Q и PQ₁ лежит на прямой AA₁. (Точки P, P₁, Q и Q₁ лежат на окружности.)

Прислать комментарий

Решение

Две окружности касаются описанной окружности треугольника ABC в точке K; кроме того, одна из этих окружностей касается стороны AB в точке M, а другая касается стороны AC в точке N. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на прямой MN.

Прислать комментарий

Решение

Даны пять точек некоторой окружности. С помощью одной линейки постройте шестую точку этой окружности.

Прислать комментарий

Решение

Точки  A₁,..., A₆ лежат на одной окружности, а точки K, L, M и N — на прямых  A₁A₂, A₃A₄, A₁A₆ и A₄A₅ соответственно, причем  KL| A₂A₃, LM| A₃A₆ и  MN| A₆A₅. Докажите, что  NK| A₅A₂.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 [Всего задач: 110]