Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть l_A, l_B, l_C и l_D – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть l_P и l_Q – внешние биссектрисы углов соответственно A_PD и A_QB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти углы до развёрнутого). Обозначим через M_AC точку пересечения l_A и l_C, через M_BD – l_B и l_D, через M_PQ – l_P и l_Q. Докажите, что, если все три точки M_AC, M_BD и M_PQ существуют, то они лежат на одной прямой.

   Решение

Семь монет расположены по кругу. Известно, что какие-то четыре из них, идущие подряд, – фальшивые и что каждая фальшивая монета легче настоящей. Объясните, как найти две фальшивые монеты за одно взвешивание на чашечных весах без гирь. (Все фальшивые монеты весят одинаково.)

   Решение

Докажите, что при n 7 внутри выпуклого n-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.

   Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 14]      

Правильный 2n-угольник M₁ со стороной a лежит внутри правильного 2n-угольника M₂ со стороной 2a. Докажите, что многоугольник M₁ содержит центр многоугольника M₂.

Прислать комментарий

Решение

Внутри правильного многоугольника  A₁...A_n взята точка O. Докажите, что по крайней мере один из углов A_iOA_j удовлетворяет неравенствам  (1 - 1/n) A_iOA_j .

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что при n 7 внутри выпуклого n-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.

Прислать комментарий

Решение

а) Выпуклые многоугольники  A₁...A_n и  B₁...B_n таковы, что все их соответственные стороны, кроме A₁A_n и B₁B_n, равны и  A₂ B₂,...,A_{n - 1} B_{n - 1}, причем хотя бы одно из неравенств строгое. Докажите, что  A₁A_n > B₁B_n.
б) Соответственные стороны неравных многоугольников  A₁...A_n и  B₁...B_n равны. Запишем возле каждой вершины многоугольника  A₁...A_n знак разности  A_i - B_i. Докажите, что при n 4 соседних вершин с разными знаками будет по крайней мере четыре пары. (Вершины с нулевой разностью выбрасываются из рассмотрения: две вершины, между которыми стоят только вершины с нулевой разностью, считаются соседними.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 14]