ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 10. Неравенства для элементов треугольника
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Швецов Д.В.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  (∠ABC = 90°),  касается сторон AB, BC, AC в точках C1, A1, B1 соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке A2. A0 – центр окружности, описанной около треугольника A1A2B1; аналогично определяется точка C0. Найдите угол A0BC0.

Вниз   Решение

Доказать неравенство

$\displaystyle {\frac{2-\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}^{n{\rm раз}}}{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n-1{\rm раз}}}}$ > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$.

ВверхВниз   Решение

Автор: Петухов А.В.

В стране Далёкой провинция называется крупной, если в ней живёт более 7% жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной провинции найдутся такие две провинции с меньшим населением , что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое наименьшее число провинций может быть в стране Далёкой?

ВверхВниз   Решение

а) Докажите, что если a, b, c — длины сторон произвольного треугольника, то  a2 + b2 $ \geq$ c2/2.
б) Докажите, что  ma2 + mb2 $ \geq$ 9c2/8.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 100]      

  с решениями  

Задача 57409  (#10.001)

Тема:   [ Неравенства с медианами ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Докажите, что если a > b, то ma < mb.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57410  (#10.002)

Тема:   [ Неравенства с медианами ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Медианы AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажите, что если четырехугольник A1MB1C описанный, то AC = BC.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57411  (#10.003)

Тема:   [ Неравенства с медианами ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Периметры треугольников ABM, BCM и ACM, где M — точка пересечения медиан треугольника ABC, равны. Докажите, что треугольник ABC правильный.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57412  (#10.004)

Тема:   [ Неравенства с медианами ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

а) Докажите, что если a, b, c — длины сторон произвольного треугольника, то  a2 + b2 $ \geq$ c2/2.
б) Докажите, что  ma2 + mb2 $ \geq$ 9c2/8.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57413  (#10.005)

Тема:   [ Неравенства с медианами ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

а) Докажите, что  ma2 + mb2 + mc2 $ \leq$ 27R2/4.
б) Докажите, что  ma + mb + mc $ \leq$ 9R/2.
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 100]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .