Каталог по источникам

Выбрано 5 задач

Версия для печати
Убрать все задачи

Существует ли такое целое число r, что является целым числом при любом n?

Решение

Число e определяется равенством Докажите, что

а)

б) где 0 < r_n ≤ 1/_n!n;

в) e – иррациональное число.

Решение

Бинарный метод возведения в степень. Предположим, что необходимо возвести число x в степень n. Если, например, n = 16, то это можно сделать выполнив 15 умножений x¹⁶ = x^.x^....^.x, а можно обойтись лишь четырьмя:

x₁ = x^.x = x², x₂ = x₁^.x₁ = x⁴, x₃ = x₂^.x₂ = x⁸, x₄ = x₃^.x₃ = x¹⁶.

Пусть

n = 2^e₁ + 2^e₂ +...+ 2^e_r (e₁ > e₂ >...> e_r $\displaystyle \geqslant$ 0).

Придумайте алгоритм, который позволял бы вычислять xⁿ при помощи

b(n) = e₁ + $\displaystyle \nu$ (n) - 1

умножений, где $\nu$ (n) = r — число единиц в двоичном представлении числа n.

Решение

Точки A₁,..., A_n лежат на одной окружности, а M — их центр масс. Прямые MA₁,..., MA_n пересекают эту окружность в точках B₁,..., B_n (отличных от A₁,..., A_n). Докажите, что MA₁ +...+ MA_n $\le$ MB₁ +...+ MB_n.

Решение

Квадрат ABCD вращается вокруг своего неподвижного центра. Найдите геометрическое место середин отрезков PQ, где P — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на неподвижную прямую l, а Q — середина стороны AB.

Решение

Задача 77988

Задача 57663