Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 14. Центр масс
>>
параграф 2. Теорема о группировке масс
Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
На окружности дано n точек. Через центр масс n - 2
точек проводится прямая, перпендикулярная хорде,
соединяющей две оставшиеся точки. Докажите, что все такие
прямые пересекаются в одной точке.
Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.
Натуральные числа от 1 до 100 расставлены по кругу в таком порядке, что каждое число либо больше обоих соседей, либо меньше обоих соседей. Пара соседних чисел называется хорошей, если при выкидывании этой пары вышеописанное свойство сохраняется. Какое минимальное количество хороших пар может быть?
В треугольнике ABC проведена медиана AM и на ней выбрана точка D. Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника BDC в точках B и C, пересекаются в точке K. Докажите, что DD′ параллельно AK, где D′ – точка, изогонально сопряжённая точке D относительно треугольника ABC.
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Произвольная окружность, проходящая через точки C и D, пересекает прямые AC, BC в точках X, Y соответственно. Найдите ГМТ пересечения окружностей CAY и CBX.
На столе лежат 365 карточек, на обратной стороне которых написаны различные числа. За один рубль Вася может выбрать три карточки и попросить Петю положить их слева направо так, чтобы числа на карточках располагались в порядке возрастания. Может ли Вася, потратив 2000 рублей, с гарантией выложить все 365 карточек на стол слева направо так, чтобы числа на них располагались в порядке возрастания?
У Коли есть отрезок длины k, а у Лёвы — отрезок длины l. Сначала Коля делит свой отрезок на три части, а потом Лёва делит на три части свой отрезок. Если из получившихся шести отрезков можно сложить два треугольника, то выигрывает Лёва, а если нет — Коля. Кто из играющих, в зависимости от отношения k/l, может обеспечить себе победу, и как ему следует играть?
На прямой AB взяты точки P и P1, а на прямой AC взяты точки Q и Q1. Прямая, соединяющая точку A с точкой пересечения прямых PQ и P1Q1, пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что
Задачи Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]
Задача 57760 (#14.013) |
|
|
На окружности дано n точек. Через центр масс n - 2
точек проводится прямая, перпендикулярная хорде,
соединяющей две оставшиеся точки. Докажите, что все такие
прямые пересекаются в одной точке.
|
|
Решение |
Задача 57761 (#14.013.1) |
|
|
На прямых BC, CA, AB взяты точки A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2 так, что A1B2‖, B_1C_2\| BC, C_1A_2\| CA. Пусть \ell_a — прямая, соединяющая точки пересечения прямых BB_1 и CC_2, BB_2 и CC_1; прямые \ell_b и \ell_c определяются аналогично. Докажите, что прямые \ell_a, \ell_b и \ell_c пересекаются в одной точке (или параллельны).
|
|
Решение |
Задача 57762 (#14.014) |
|
|
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты
точки A1, B1 и C1, причем отрезки AA1, BB1 и CC1
пересекаются в точке P. Пусть
la, lb, lc — прямые,
соединяющие середины отрезков BC и B1C1, CA и C1A1,
AB и A1B1. Докажите, что прямые la, lb и lc
пересекаются в одной точке, причем эта точка лежит на отрезке PM,
где M — центр масс треугольника ABC.
|
|
|
Решение |
Задача 57763 (#14.015) |
|
|
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты
точки A1, B1 и C1; прямые B1C1, BB1 и CC1 пересекают
прямую AA1 в точках M, P и Q соответственно. Докажите, что:
а)
A1M/MA = (A1P/PA) + (A1Q/QA);
б) если P = Q, то
MC1 : MB1 = (BC1/AB) : (CB1/AC).
|
|
|
Решение |
Задача 57764 (#14.016) |
|
|
На прямой AB взяты точки P и P1, а на прямой AC взяты точки Q и Q1. Прямая, соединяющая точку A с точкой пересечения прямых PQ и P1Q1, пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]
