ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 14. Центр масс >> параграф 5. Барицентрические координаты
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

На прямых AB, BC, CA даны точки C1 и C2, A1 и A2, B1 и B2. Точки C1 и C2 определяют числа $ \gamma_{1}^{}$ и $ \gamma_{2}^{}$, для которых (1 + $ \gamma_{1}^{}$)$ \overrightarrow{AC_1}$ = $ \overrightarrow{AB}$ и (1 + $ \gamma_{2}^{}$)$ \overrightarrow{C_2B}$ = $ \overrightarrow{AB}$; числа $ \alpha_{1}^{}$, $ \alpha_{2}^{}$, $ \beta_{1}^{}$, $ \beta_{2}^{}$ определяются аналогично. Докажите, что прямые A2B1, B2C1 и C2A1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$$\displaystyle \beta_{1}^{}$$\displaystyle \gamma_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$$\displaystyle \beta_{2}^{}$$\displaystyle \gamma_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{1}^{}$$\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{1}^{}$$\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \gamma_{1}^{}$$\displaystyle \gamma_{2}^{}$ = 1.


Замечание. При $ \alpha_{2}^{}$ = $ \beta_{2}^{}$ = $ \gamma_{2}^{}$ = 0 точки A2, B2, C2 совпадают с B, C, A; в этом случае получаем теорему Чевы. При $ \alpha_{1}^{}$$ \alpha_{2}^{}$ = $ \beta_{1}^{}$$ \beta_{2}^{}$ = $ \gamma_{1}^{}$$ \gamma_{2}^{}$ = 1 совпадают точки A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2. (Действительно, совпадение точек A1 и A2 эквивалентно тому, что $ {\frac{1}{\alpha_1}}$ + $ {\frac{1}{\alpha_2}}$ = 1; это равенство эквивалентно равенству $ \alpha_{1}^{}$$ \alpha_{2}^{}$ = 1.) Прямые A1B1, B1C1 и C1A1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда они совпадают. В этом случае получаем теорему Менелая.

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      

  с решениями  

Задача 57788  (#14.040B)

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Две прямые заданы в барицентрических координатах уравнениями a1$ \alpha$ + b1$ \beta$ + c1$ \gamma$ = 0 и a2$ \alpha$ + b2$ \beta$ + c2$ \gamma$ = 0.
а) Докажите, что точка пересечения этих прямых имеет барицентрические координаты

$\displaystyle \left(\vphantom{\begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatr... ..._2 \end{vmatrix}: \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}\right.$$\displaystyle \begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}$ : $\displaystyle \begin{vmatrix}c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix}$ : $\displaystyle \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatr... ..._2 \end{vmatrix}: \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}\right)$.


б) Докажите, что эти прямые параллельны тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}$ + $\displaystyle \begin{vmatrix}c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix}$ + $\displaystyle \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$ = 0.


Прислать комментарий     Решение

Задача 57789  (#14.038.1)

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

На прямых AB, BC, CA даны точки C1 и C2, A1 и A2, B1 и B2. Точки C1 и C2 определяют числа $ \gamma_{1}^{}$ и $ \gamma_{2}^{}$, для которых (1 + $ \gamma_{1}^{}$)$ \overrightarrow{AC_1}$ = $ \overrightarrow{AB}$ и (1 + $ \gamma_{2}^{}$)$ \overrightarrow{C_2B}$ = $ \overrightarrow{AB}$; числа $ \alpha_{1}^{}$, $ \alpha_{2}^{}$, $ \beta_{1}^{}$, $ \beta_{2}^{}$ определяются аналогично. Докажите, что прямые A2B1, B2C1 и C2A1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$$\displaystyle \beta_{1}^{}$$\displaystyle \gamma_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$$\displaystyle \beta_{2}^{}$$\displaystyle \gamma_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{1}^{}$$\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{1}^{}$$\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \gamma_{1}^{}$$\displaystyle \gamma_{2}^{}$ = 1.


Замечание. При $ \alpha_{2}^{}$ = $ \beta_{2}^{}$ = $ \gamma_{2}^{}$ = 0 точки A2, B2, C2 совпадают с B, C, A; в этом случае получаем теорему Чевы. При $ \alpha_{1}^{}$$ \alpha_{2}^{}$ = $ \beta_{1}^{}$$ \beta_{2}^{}$ = $ \gamma_{1}^{}$$ \gamma_{2}^{}$ = 1 совпадают точки A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2. (Действительно, совпадение точек A1 и A2 эквивалентно тому, что $ {\frac{1}{\alpha_1}}$ + $ {\frac{1}{\alpha_2}}$ = 1; это равенство эквивалентно равенству $ \alpha_{1}^{}$$ \alpha_{2}^{}$ = 1.) Прямые A1B1, B1C1 и C1A1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда они совпадают. В этом случае получаем теорему Менелая.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57790  (#14.041B)

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Пусть ($ \alpha_{1}^{}$,$ \beta_{1}^{}$,$ \gamma_{1}^{}$) и ($ \alpha_{2}^{}$,$ \beta_{2}^{}$,$ \gamma_{2}^{}$) — абсолютные барицентрические координаты точек M и N. Докажите, что

MN2 = SA($\displaystyle \alpha_{1}^{}$ - $\displaystyle \alpha_{2}^{}$)2 + SB($\displaystyle \beta_{1}^{}$ - $\displaystyle \beta_{2}^{}$)2 + SC($\displaystyle \gamma_{1}^{}$ - $\displaystyle \gamma_{2}^{}$)2,

где S$\scriptstyle \omega$ = 2Sctg$ \omega$ для произвольного угла $ \omega$, A, B, C — углы данного треугольника, а S — его площадь.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57791  (#14.041B1)

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что величина S$\scriptstyle \omega$, введенная в задаче 14.41B, обладает следующими свойствами:
а) SA = $ {\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}$, SB = $ {\frac{c^2+a^2-b^2}{2}}$, SC = $ {\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}$.
б) SA + SB = c2, SB + SC = a2, SC + SA = b2.
в) SA + SB + SC = S$\scriptstyle \varphi$, где $ \varphi$ — угол Брокара.
г) SASB + SBSC + SCSA = 4S2.
д) SASBSC = 4S2S$\scriptstyle \varphi$ - (abc)2.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57792  (#14.041B2)

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Прямая l проходит через точку X с барицентрическими координатами ($ \alpha$ : $ \beta$ : $ \gamma$). Пусть da, db, dc — расстояния от вершин A, B, C до прямой l с учетом знака (для точек, лежащих по разные стороны от прямой l, знаки разные). Докажите, что da$ \alpha$ + db$ \beta$ + dc$ \gamma$ = 0.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .