Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 18. Поворот
>>
параграф 3. Повороты на произвольные углы
Фильтр
Выбрано 18 задач Убрать все задачи
Даны два многочлена от переменной x с целыми коэффициентами. Произведение их есть многочлен от переменной x с чётными коэффициентами, не все из которых делятся на 4. Доказать, что в одном из многочленов все коэффициенты чётные, а в другом – хоть один нечётный.
На каждой клетке шахматной доски стоит шашка, с одной стороны белая, с другой черная. За один ход можно выбрать любую шашку и перевернуть все шашки, стоящие с выбранной на одной вертикали, и все шашки, стоящие с ней на одной горизонтали.
а) Придумайте, как перевернуть ровно одну шашку на доске 6×6, произвольно уставленной шашками.
б) Можно ли добиться того, чтобы все шашки на доске 5×6 стали белыми, если чёрными изначально была ровно половина шашек.
Постройте квадрат, три вершины которого лежат на трёх данных
параллельных прямых.
Существует ли правильный треугольник с вершинами в узлах целочисленной
решетки?
На окружности фиксированы точки A и B, а точка C движется по этой окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников ABC.
Постройте четырехугольник ABCD по четырем сторонам
и углу между AB и CD.
Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой
сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM
была бы наименьшей.
Старинный замок был обнесён треугольной стеной. Каждая сторона стены была поделена на три равные части, и в этих точках, а также в вершинах были построены башни. Всего вдоль стены было 9 башен: A, E, F, B, K, L, C, M, N. Со временем все стены и башни, кроме башен E, K, M, разрушились. Как по оставшимся башням определить, где находились башни A, B, C, если известно, что башни A, B, C стояли в вершинах?
Требуется заполнить числами квадратную таблицу из n×n клеток так, чтобы сумма чисел на каждой из 4n – 2 диагоналей равнялась 1. Можно ли это сделать при
а) n = 55?
б) n = 1992?
В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина стороны $BC$, точка $E$ лежит внутри стороны $AC$, $BE \geqslant 2AM$. Докажите, что треугольник $ABC$ тупоугольный.
На окружности с центром O даны точки
A1,..., An,
делящие ее на равные дуги, и точка X. Докажите, что
точки, симметричные X относительно прямых
OA1,..., OAn,
образуют правильный многоугольник.
Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC,
H — точка пересечения высот. Докажите, что
a2 + b2 + c2 = 9R2 - OH2.
Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.
Дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями BC и AD. В треугольники ABC и ABD вписаны окружности с центрами O1 и O2.
Докажите, что прямая O1O2 перпендикулярна BC.
Внутри угла AOB взята точка C, опущены перпендикуляры CD на сторону OA и CE на сторону OB. Затем опущены перпендикуляры EM на сторону OA и DN на сторону OB. Доказать, что OC ⊥ MN.
Четырехугольник имеет ось симметрии. Докажите, что
этот четырехугольник либо является равнобедренной трапецией,
либо симметричен относительно диагонали.
Медианы AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются
в точке M. Докажите, что если четырехугольник A1MB1C описанный,
то AC = BC.
Докажите, что при повороте на угол с центром в начале координат точка
с координатами (x, y) переходит в точку
Задачи Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]
Задача 57944 |
|
|
Докажите, что при повороте на угол с центром в начале координат точка
с координатами (x, y) переходит в точку
|
|
Решение |
Задача 57945 |
|
|
Даны точки A и B и окружность S. Постройте
на окружности S такие точки C и D, что AC| BD и дуга
CD имеет данную величину .
|
|
Решение |
Задача 57946 |
|
|
Поворот с центром O переводит прямую l1 в прямую l2, а точку A1, лежащую на прямой l1, — в точку A2.
Докажите, что точка пересечения прямых l1 и l2 лежит на
описанной окружности треугольника A1OA2.
|
|
|
Решение |
Задача 57947 |
|
|
На плоскости лежат две одинаковые буквы .
Концы коротких палочек этих букв обозначим A и A'.
Длинные палочки разбиты на n равных частей точками
A1,..., An - 1;
A1',..., An - 1' (точки деления
нумеруются от концов длинных палочек). Прямые AAi и A'Ai'
пересекаются в точке Xi. Докажите, что точки
X1,..., Xn - 1
образуют выпуклый многоугольник.
|
|
|
Решение |
Задача 57948 |
|
|
По двум прямым, пересекающимся в точке P,
равномерно с одинаковой скоростью движутся две точки:
по одной прямой — точка A, по другой — точка B. Через
точку P они проходят не одновременно. Докажите, что
в любой момент времени описанная окружность треугольника
ABP проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от P.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]
