Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 9 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Отрезок AL является биссектрисой треугольника ABC . Окружность радиуса 3 проходит через вершину A , касается стороны BC в точке L и пересекает сторону AB в точке K . Найдите угол BAC и площадь треугольника ABC , если BC=4 , AK:LB=3:2 .

Вниз   Решение


На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1; прямые B1C1, BB1 и CC1 пересекают прямую AA1 в точках M, P и Q соответственно. Докажите, что:
а) A1M/MA = (A1P/PA) + (A1Q/QA);
б) если P = Q, то MC1 : MB1 = (BC1/AB) : (CB1/AC).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если x1, x2, x3 – корни уравнения  x³ + px + q = 0, то  

ВверхВниз   Решение


Восстановите вписанно-описанный четырёхугольник $ABCD$ по серединам дуг $AB$, $BC$, $CD$ его описанной окружности.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.

ВверхВниз   Решение


Решите уравнение  x³ + x – 2 = 0  подбором и по формуле Кардано.

ВверхВниз   Решение


Найдите все действительные значения a и b, при которых уравнения  x³ + ax² + 18 = 0,   x³ + bx + 12 = 0  имеют два общих корня, и определите эти корни.

ВверхВниз   Решение


Даны точки A1,..., An. Рассмотрим окружность радиуса R, содержащую некоторые из них. Построим затем окружность радиуса R с центром в центре масс точек, лежащих внутри первой окружности, и т. д. Докажите, что этот процесс остановится, т. е. окружности начнут совпадать.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что существуют равновеликие многоугольники, которые нельзя разбить на многоугольники (возможно, невыпуклые), переводящиеся друг в друга параллельным переносом.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      



Задача 58175  (#23.015B)

Темы:   [ Эйлерова характеристика ]
[ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Выпуклый многоугольник разрезан на p треугольников так, что на их сторонах нет вершин других треугольников. Пусть n и m — количества вершин этих треугольников, лежащих на границе исходного многоугольника и внутри его.
а) Докажите, что p = n + 2m - 2.
б) Докажите, что количество отрезков, являющихся сторонами полученных треугольников, равно 2n + 3m - 3.
Прислать комментарий     Решение


Задача 79493  (#23.016)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Полуинварианты ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58177  (#23.017)

Тема:   [ Инварианты ]
Сложность: 7
Классы: 8,9

Докажите, что существуют равновеликие многоугольники, которые нельзя разбить на многоугольники (возможно, невыпуклые), переводящиеся друг в друга параллельным переносом.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58178  (#23.018)

Тема:   [ Инварианты ]
Сложность: 7
Классы: 8,9

Докажите, что выпуклый многоугольник нельзя разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58179  (#23.019)

Тема:   [ Инварианты ]
Сложность: 7
Классы: 8,9

Даны точки A1,..., An. Рассмотрим окружность радиуса R, содержащую некоторые из них. Построим затем окружность радиуса R с центром в центре масс точек, лежащих внутри первой окружности, и т. д. Докажите, что этот процесс остановится, т. е. окружности начнут совпадать.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .