Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 23. Делимость, инварианты, раскраски
- параграф 1. Чет и нечет (8 задач)
- параграф 2. Делимость (2 задачи)
- параграф 3. Инварианты (10 задач)
- параграф 4. Вспомогательные раскраски в шахматном порядке (6 задач)
- параграф 5. Другие вспомогательные раскраски (9 задач)
- параграф 6. Задачи о раскрасках (6 задач)
Фильтр
Выбрано 9 задач Убрать все задачи
Отрезок AL является биссектрисой треугольника ABC . Окружность радиуса 3 проходит через вершину A , касается стороны BC в точке L и пересекает сторону AB в точке K . Найдите угол BAC и площадь треугольника ABC , если BC=4 , AK:LB=3:2 .
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты
точки A1, B1 и C1; прямые B1C1, BB1 и CC1 пересекают
прямую AA1 в точках M, P и Q соответственно. Докажите, что:
а)
A1M/MA = (A1P/PA) + (A1Q/QA);
б) если P = Q, то
MC1 : MB1 = (BC1/AB) : (CB1/AC).
Докажите, что если x1, x2, x3 – корни уравнения x³ + px + q = 0, то
Восстановите вписанно-описанный четырёхугольник $ABCD$ по серединам дуг $AB$, $BC$, $CD$ его описанной окружности.
Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.
Решите уравнение x³ + x – 2 = 0 подбором и по формуле Кардано.
Найдите все действительные значения a и b, при которых уравнения x³ + ax² + 18 = 0, x³ + bx + 12 = 0 имеют два общих корня, и определите эти корни.
Даны точки
A1,..., An. Рассмотрим окружность
радиуса R, содержащую некоторые из них. Построим затем
окружность радиуса R с центром в центре масс точек,
лежащих внутри первой окружности, и т. д. Докажите, что
этот процесс остановится, т. е. окружности начнут совпадать.
Докажите, что существуют равновеликие многоугольники, которые
нельзя разбить на многоугольники (возможно, невыпуклые),
переводящиеся друг в друга параллельным переносом.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]
Задача 58175 (#23.015B) |
|
|
Выпуклый многоугольник разрезан на p треугольников так, что на их сторонах нет
вершин других треугольников. Пусть n и m — количества вершин этих
треугольников, лежащих на границе исходного многоугольника и внутри его.
а) Докажите, что p = n + 2m - 2.
б) Докажите, что количество отрезков, являющихся сторонами полученных
треугольников, равно 2n + 3m - 3.
|
|
Решение |
Задача 79493 (#23.016) |
|
|
Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.
|
|
|
Решение |
Задача 58177 (#23.017) |
|
|
Докажите, что существуют равновеликие многоугольники, которые
нельзя разбить на многоугольники (возможно, невыпуклые),
переводящиеся друг в друга параллельным переносом.
|
|
Решение |
Задача 58178 (#23.018) |
|
|
Докажите, что выпуклый многоугольник нельзя
разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников.
|
|
|
Решение |
Задача 58179 (#23.019) |
|
|
Даны точки
A1,..., An. Рассмотрим окружность
радиуса R, содержащую некоторые из них. Построим затем
окружность радиуса R с центром в центре масс точек,
лежащих внутри первой окружности, и т. д. Докажите, что
этот процесс остановится, т. е. окружности начнут совпадать.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]
