Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 58215 (#24.008)

[Теорема Минковского]

Тема:

[

Теорема Минковского

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Начало координат является центром симметрии выпуклой фигуры площадью более 4. Докажите, что эта фигура содержит хотя бы одну точку с целыми координатами, отличную от начала координат.

Прислать комментарий Решение

Задача 58216 (#24.009)

Тема:

[

Теорема Минковского

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

а) Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного, в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых имеют радиус r. Докажите, что охотник не сможет увидеть зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/r.
б) Пусть n — натуральное число. Во всех точках целочисленной решетки, расположенных строго внутри окружности радиуса $\sqrt{n^2+1}$ с центром в начале координат и отличных от начала координат, растут деревья радиуса r. Докажите, что если r < ${\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}$ , то на указанной окружности есть точка, которую можно увидеть из начала координат.

Прислать комментарий Решение

Задача 58217 (#24.010B-)

Тема:

[

Теорема Минковского

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полупериметром p нет точек целочисленной решётки. Докажите, что S $\le$ p.

Прислать комментарий Решение

Задача 58218 (#24.010B-1)

Тема:

[

Теорема Минковского

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Выпуклая фигура $\Phi$ имеет площадь S и полупериметр p. Докажите, что если S > np для некоторого натурального n, то $\Phi$ содержит по крайней мере n целочисленных точек.

Прислать комментарий Решение

Задача 58219 (#24.010)

Тема:

[

Теорема Минковского

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полупериметром p лежит n узлов решетки. Докажите, что n > S - p.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]