Пусть движение плоскости переводит фигуру F в фигуру F'. Для каждой пары соответственных точек A и A' рассмотрим середину X отрезка AA'. Докажите, что либо все точки X совпадают, либо все они лежат на одной прямой, либо образуют фигуру, подобную F.

   Решение

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R, причем AB = CD = EF = R. Докажите, что середины сторон BC, DE и FA образуют правильный треугольник.

   Решение

Правильные треугольники ABC, CDE, EHK (вершины обходятся в направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так, что = . Докажите, что треугольник BHD тоже правильный.

   Решение

Доказать, что  2^2n–1 + 3n + 4  делится на 9 при любом n.

   Решение

а)  sin + sin + sin 3/2;
б)  cos(/2) + cos(/2) + cos(/2) 3/2.

   Решение

Несколько кругов одного радиуса положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что круги можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся круга будут разного цвета.

   Решение

Докажите, что композицию чётного числа симметрий относительно прямых нельзя представить в виде композиции нечётного числа симметрий относительно прямых.

   Решение

Триангуляцией многоугольника называют его разбиение на треугольники, обладающее тем свойством, что эти треугольники либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек (т. е. вершина одного треугольника не может лежать на стороне другого). Докажите, что треугольники триангуляции можно раскрасить в три цвета так, что имеющие общую сторону треугольники будут разного цвета.

   Решение

Докажите, что любое движение плоскости является композицией не более чем трех симметрий относительно прямых.

   Решение

Докажите, что для любого натурального n  10ⁿ + 18n – 1  делится на 27.

   Решение

Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

   Решение

Даны три прямые a, b, c. Пусть T = S_aoS_boS_c. Докажите, что ToT — параллельный перенос (или тождественное отображение).

   Решение

Даны точки A и B и окружность S. Постройте на окружности S такие точки C и D, что AC| BD и дуга CD имеет данную величину .

   Решение

а) Через точку P проводятся всевозможные секущие окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности S, проведенных в двух точках пересечения окружности с секущей.
б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих AB и CD окружности S (A, B, C, D — точки пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AC и BD.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 59]      

Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вписанной окружностью, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

а) Через точку P проводятся всевозможные секущие окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности S, проведенных в двух точках пересечения окружности с секущей.
б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих AB и CD окружности S (A, B, C, D — точки пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AC и BD.

Прислать комментарий

Решение

Даны окружность S, прямая l, точка M, лежащая на S и не лежащая на l, и точка O, не лежащая на S. Рассмотрим преобразование P прямой l, являющееся композицией проектирования l на S из M, S на себя из O и S на l из M, т. е. P(A) — пересечение прямых l и MC, где C — отличная от B точка пересечения S с прямой OB, а B — отличная от A точка пересечения S с прямой MA. Докажите, что преобразование P проективно.

Прислать комментарий

Решение

Даны окружность S, точка P, расположенная вне S, и прямая l, проходящая через P и пересекающая окружность в точках A и B. Точку пересечения касательных к окружности в точках A и B обозначим через K.
а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через P и пересекающие AK и BK в точках M и N. Докажите, что геометрическим местом точек пересечения отличных от AK и BK касательных к S, проведенных из точек M и N, является некоторая прямая, проходящая через K, из которой выкинуто ее пересечение с внутренностью S.
б) Будем на окружности разными способами выбирать точку R и проводить прямую, соединяющую отличные от R точки пересечения прямых RK и RP с S. Докажите, что все полученные прямые проходят через одну точку, и эта точка лежит на l.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 59]