Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 30. Проективные преобразования
>>
параграф 4. Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность
Фильтр
Выбрано 4 задачи Убрать все задачи
Даны окружность S, точка P, расположенная вне S,
и прямая l, проходящая через P и пересекающая окружность
в точках A и B. Точку пересечения касательных к окружности
в точках A и B обозначим через K.
а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через P
и пересекающие AK и BK в точках M и N. Докажите,
что геометрическим местом точек пересечения отличных от
AK и BK касательных к S, проведенных из точек M и N,
является некоторая прямая, проходящая через K, из которой
выкинуто ее пересечение с внутренностью S.
б) Будем на окружности разными способами выбирать
точку R и проводить прямую, соединяющую отличные от R
точки пересечения прямых RK и RP с S. Докажите, что
все полученные прямые проходят через одну точку, и эта
точка лежит на l.
Выпуклый n-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Разрешается проделывать следующее преобразование (перестройку): взяв пару треугольников ABD и BCD с общей стороной, заменить их на треугольники ABC и ACD. Пусть P(n) – наименьшее число перестроек, за которое можно перевести каждое разбиение в любое. Докажите, что
а) P(n) ≥ n – 3;
б) P(n) ≤ 2n – 7;
в) P(n) ≤ 2n – 10 при n ≥ 13.
α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)
sin2 + sin2
+ sin2
= (p2 - r2 - 4rR)/2R2.
б)
4R2coscos
cos
= p2 - (2R + r)2.
Пусть ABCDEF — описанный шестиугольник. Докажите, что его
диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке (Брианшон).
Задачи Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]
Задача 58447 |
|
|
Даны окружность S, прямая l, точка M, лежащая
на S и не лежащая на l, и точка O, не лежащая на S.
Рассмотрим преобразование P прямой l, являющееся композицией
проектирования l на S из M, S на себя из O и S на l
из M, т. е. P(A) — пересечение прямых l и MC,
где C — отличная от B точка пересечения S с прямой OB,
а B — отличная от A точка пересечения S с прямой MA.
Докажите, что преобразование P проективно.
|
|
Решение |
Задача 58448 |
|
|
Даны окружность S, точка P, расположенная вне S,
и прямая l, проходящая через P и пересекающая окружность
в точках A и B. Точку пересечения касательных к окружности
в точках A и B обозначим через K.
а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через P
и пересекающие AK и BK в точках M и N. Докажите,
что геометрическим местом точек пересечения отличных от
AK и BK касательных к S, проведенных из точек M и N,
является некоторая прямая, проходящая через K, из которой
выкинуто ее пересечение с внутренностью S.
б) Будем на окружности разными способами выбирать
точку R и проводить прямую, соединяющую отличные от R
точки пересечения прямых RK и RP с S. Докажите, что
все полученные прямые проходят через одну точку, и эта
точка лежит на l.
|
|
Решение |
Задача 58449 |
|
|
Вневписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC
в точке D, а продолжений сторон AB и AC —
в точках E и F. Пусть T — точка пересечения прямых BF
и CE. Докажите, что точки A, D и T лежат на одной прямой.
|
|
|
Решение |
Задача 58450[Теорема Брианшона] |
|
|
Пусть ABCDEF — описанный шестиугольник. Докажите, что его
диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке (Брианшон).
|
|
|
Решение |
Задача 58453 |
|
|
Точки A, B, C и D лежат на окружности, SA и SD —
касательные к этой окружности, P и Q — точки
пересечения прямых AB и CD, AC и BD соответственно.
Докажите, что точки P, Q и S лежат на одной прямой.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]
